数列的子列.doc

§ 数列的子列
定义1:设为数列,为正整数集的无限子集,且,则数列,称为数列的一个子列,简记为。
在数列中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列,记为,其中表示在原数列中的项数,表示它在子列中的项数.
定义2: 数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为的平凡子列;不是平凡子列的子列,称为非平凡子列。
性质:一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散;且在收敛时有相同的极限。
对数列的子列,有如下结果:
(1) 对每一个,有.
(2) 对任意两个正整数,如果,,若,则.
(3) ,有.
(4) 数列收敛的充要条件是和收敛到同一极限.
证明: 必要性. 设,则任给,找得到正整数N,当时,有. 此时对2N, 当2n>2N时也有, 亦即. 同理可证.
充分性. 设, 则对任给, 找得到正整数N,当n>N时,有
①
同时可找到正整数M, 当n>M时,有
②
从而取N0 =max{2N, 2M+1}, 当n>N0时, n为偶数, 则满足①; n为奇数, 则满足②,
即当n>N时,有, 亦即.
(5)若,和都收敛,且有相同的极限,则收敛。或者说:数列收敛的充要条件是,和收敛到同一极限.
证明: 设,则由数列极限的定义,知,,,;同样也有,,;,,。
取,当时,对任意的自然数 n ,若,则必有,从而;同样若,则必有,从而也有;若,则必有,从而。所以,即收敛。
(6)数列收敛的充要条件:的任何子列都收敛于同一极限.
证明:必要性. 设是的任一子列.,使得当时有. 由于,故当时更有,从而也有, 这就证明了.
充分性. ,又是的子列,, 同样可得. 故. 由上面的(4)点可知收敛.
下面举几个子列的例子。
例1 : 证明以下数列发散
(1) ; (2)
证明: 设