直线与椭圆综合问题.docx

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直线与椭圆综合问题
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直线与椭圆综合问题
直线与椭圆的综合问题
考点一
弦中点问题
1 x－ 1 ，即 x＋ 9y－ 5＝0.
2 9 2
2
2．焦点为 F(0,5 2)，并截直线 y＝2x－ 1 所得弦的中点的横坐标是 7的椭圆的标准方程
________________ ．
y2 x2
分析：设所求的椭圆方程为 a2＋b2＝1(a＞ b＞ 0)，直线被椭圆所截弦的端点为 A(x1，y1)，
B(x2， y2)．
由题意，可得弦 AB 的中点坐标为
x1＋ x2
y1＋ y2
，且
x1 ＋ x2
2
y1＋ y2
3
，
2
2
＝ ，
＝－ .
2
7
2
7
2
2
y1
x1
＝1，
将 A， B 两点坐标代入椭圆方程中，得
a2
＋b2
2
2
y2
＋
x2
＝1.
2
2
a
b
a2
y1－ y2 y1＋ y2
－ 6
两式相减并化简，得
2×
7
b
2＝－
·
＝－
＝ 3，
x1－ x2
x1＋ x2
4
7
因此 a2＝3b2 ，又 c2＝ a2－ b2＝ 50，因此 a2＝ 75， b2＝ 25，
y2
x2
故所求椭圆的标准方程为
75＋
25＝ 1.
2
2
答案： y ＋ x
＝ 1
75 25
考点二
弦长问题
x2
y2
6
，焦距为
[ 典例 ] (2018 ·北京高考节选 )已知椭圆
M： a2＋ b2＝ 1(a>b>0) 的离心率为
3
2 k 的直线 l 与椭圆 M 有两个不一样的交点
A， B.
(1)求椭圆 M 的方程；
(2)若 k＝ 1，求 |AB |的最大值．
直线与椭圆综合问题
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直线与椭圆综合问题
a2＝ b2＋ c2，
[解 ]
(1) 由题意得
c＝
6，
解得 a＝
3， b＝1.
a
3
2c＝2 2，
2
因此椭圆 M 的方程为 x3 ＋ y2＝ 1.
(2)设直线 l 的方程为 y＝ x＋ m， A( x1， y1)， B(x2， y2)．
y＝ x＋m，
x2＋ y2＝ 1， 得 4x2＋ 6mx＋ 3m2－3＝ 0， 3
2－ 3
因此 x1＋ x2＝－ 3m， x1 x2＝3m
.
2
4
因此 |AB|＝
x2－ x1
2＋ y2－ y1
2＝ 2
x2－x1
2＝
2[ x1＋ x2 2－ 4x1x2] ＝
12－ 3m2
2
.
当 m＝ 0，即直线 l 过原点时， |AB|最大，最大值为
6.
[ 解题技法 ]
弦长的求解方法
(1)当弦的两头点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．
(2)当直线的斜率存在