对一道中考试题解法探究.docx

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试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）
如图1, PA为。0的切线， AB,垂足为点C,交。。0交于点D,与 PA的延长线交于点E.
（1） 求证：PB对一道中考试题解法探究
试题：（2011年武汉市初中毕业升学考试第22题）
如图1, PA为。0的切线， AB,垂足为点C,交。。0交于点D,与 PA的延长线交于点E.
（1） 求证：PB为。0的切线；
（2） 若 tanZABE=,求 sinZE 的值.
第（1）问是圆中的常见问题，因为点B在圆上，连半 径0B,证明Z0BP=90° AB的中垂线，通过三角形全等或等腰三角形的性质可证 Z0BP=90° .证明过程不再赘述.
第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高，解答 方法多样，本文主要探讨第（2）问的证明方法.
图1
一、构造相似三角形
解法1： “A"型与勾股定理
如图 1,由 tanZABE=,设 OC=k,则 BC=2k, B0=k, 0P=5k.
由 ZABE=ZBP0,得 PC=2BC=4k, BP=2 k.
由（1）得Z0AE=ZPBE=90° .
又 VZ0EA=ZPEB,
AOAE^APBE,
9 即二. 整理，得AE=2DE. 设 DE=t,则 AE=2t. 在 RtAOAE 中，(2t) 2+ (k) 2= (k+t) 2, 解得t=, ；.0E=, sinZE==. 解法2 : “A"型与切线长定理
如图 2, ...BD 为直径,/. ZBAD=90° ,
「.AD〃OP,
AD=20C=2k, AADE^APOE, •
• • .
图2
设 AE=2t, PE=5t,则 PA=3t.
PA=PB ；.PB=3t.
/. sinZE==.
解法3： “A”型与合比性质
由解法2知，==,
由比例的合比性质，得=,即二,
；.DE=,
/.OE=DE+OE=,
/. sinZE==.
解法4： “A"型与“射影定理图”
如图3,过0点作OFXOA交AB于F.
VAEXOA ,「.OF〃AE, •
图3
由解法 1 可知 OC=k, AC=BC=2k, OA=OB=k.
VOFXOA, OC±AF, ；. AAOC^AOFC.
0C2=AC • CF ,「. CF=k.
BF=BC-CF=k, AF=AC+CF=k.