对一道中考试题解法的探究.docx

对一道中考试题解法的探究
试题：（2011 年武汉市初中毕业升学考试第 22 题）
如图 1，PA为 O的切线， A 为切点 . 过 A 作 OP的垂线 AB，垂足为点 C，交 O
对一道中考试题解法的探究
试题：（2011 年武汉市初中毕业升学考试第 22 题）
如图 1，PA为 O的切线， A 为切点 . 过 A 作 OP的垂线 AB，垂足为点 C，交 O于点 B. 延长 BO与 O 交于点 D，与 PA的延长线交于点
E.
1） 求证： PB为 O的切线；
2） 若 tan ∠ABE=，求 sin ∠E的值 .
第（1）问是圆中的常见问题，因为点 B 在圆上，连半径 OB，证明∠ OBP=90° 即可 . 这里的关键是发现 OP是弦 AB的中垂线，通过
三角形全等或等腰三角形的性质可证∠ OBP=90°. 证明过程不再赘
述.
第（2）问综合性强，对同学们的能力要求较高， 解答方法多样，
本文主要探讨第（ 2）问的证明方法 .
图 1
一、 构造相似三角形
解法 1： “A”型与勾股定理
如图 1，由 tan ∠ABE=，设 OC=k，则 BC=2k，BO=k，OP=5k.
由∠ ABE=∠BPO，得 PC=2BC=4k，BP=2 k.
由（ 1）得∠ OAE=∠PBE=90°.
又∠ OEA=∠PEB，

OAE∽PBE，
，
即=.
整理，得 AE=2DE.
设 DE=t，则 AE=2t.
在 RtOAE中，（2t ）2+ （k）2=（k+t ）2，
解得 t= ，
OE= ，
sin ∠E==.
解法 2 ： “A”型与切线长定理
如图 2，BD为直径，∠ BAD=90°，
AD ∥OP，
AD=2OC=2k ， ADE∽POE，
==.
图 2
设 AE=2t，PE=5t，则 PA=3t. PA=PB PB=3t.
sin ∠E==.
解法 3： “A”型与合比性质
由解法 2 知， ==，
由比例的合比性质，得 ==，即 =，
DE= ，

OE=DE+OE=，
sin ∠E==.
解法 4： “A”型与“射影定理图”
如图 3，过 O点作 OFOA交 AB于 F.
AEOA ，OF∥AE，
=.
图 3
由解法 1 可知 OC=k，AC=BC=2k，OA=OB=k.
OFOA ，OCAF，AOC∽OFC.
OC2=AC ? CF ，CF=k.
BF=BC-CF=k ，AF=AC+CF=k.
sin ∠E====.
二