函数《周期性、对称性专题》.doc

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函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1：函数满足，那么函数的图象关于直线对称.
推论1：函数满足，那么函数的图象关于直线对称.
推论2：函数满足，那么函数的图象关〕
(x)为奇函数 (x)为偶函数 (x)+1为奇函数 (x)+1为偶函数
3、定义在实数集上的奇函数恒满足，且时,,那么________。
4、定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,假设方程f(x)=m(m>0)在区间上有四个不同的根x1,x2,x3,x4,那么x1+x2+x3+x4=____________
5、设f(x)是定义在R上的奇函数,且它的图象关于直线x=对称。求f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)的值____________
6、f(x)是定义在R上的偶函数，且g(x)=f(x-1)为奇函数，求f(2009)的值____________。
7、偶函数定义域为R，且恒满足，假设方程在上只有三个实根，且一个根是4，求方程在区间
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中的根。
8、设f(x)是定义在R上的偶函数,它的图象关于直线x=2对称,x∈[－2,2]时,函数f(x)=－x2+∈[－6, －2]时,f(x)的解析式。
9、函数是定义在R上的偶函数，其图像关于对称，对任意，都有，且.
⑴求,；⑵证明是周期函数；⑶记，求.
10、定义在R上的函数，对任意，有，且，
〔1〕．求证：；
〔2〕．判断的奇偶性；
〔3〕．假设存在非零常数c,使，
①证明对任意都有成立；
②函数是不是周期函数，为什么？
11、是定义在R上的以2为周期的函数，对，用表示区间，当时，，求在上的解析式。
函数的周期性
〔一〕根本知识点
1、周期函数的定义
2、周期性的判定：
〔1〕用定义
〔2〕用性质
设是非零常数，假设对于函数定义域中的任意，恒有以下条件之一成立：
①；②；③；
④；⑤；⑥
那么是周期函数，是它的一个周期。
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〔3〕用对称性与周期性的关系：①假设的图象有两条对称轴和，那么
必为周期函数，且是它的一个周期；②假设的图象有两个对称中心和
，那么是一个以为周期的周期函数；③假设的图象有一个对称
轴和一个对称中心，那么是一个以为周期的周期函数。
3、周期性的应用
〔二〕精典例题
1、〔1〕是定义在R上的奇函数，假设的最小正周期为3，那么的取值范围是〔 〕
A． B． C．D．
〔2〕函数是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3, 且 ( )
A．4 B．2 C．－2 D．学
2、〔2009全国卷Ⅰ理〕函数的定义域为R，假设与都是奇函数，那么( D )
C.
3、函数对任意实数均有，且存在非零常数
〔1〕求的值；
〔2〕判断的奇偶性并证明；
〔3〕求证是周期函数，并求出的一个周期.
4、定义在Ｒ上的周期函数，其周期Ｔ＝２，直线是它的图象的一条对称轴，且上是