反证法证明题简单.doc

反证法证明题简单.doc反
证
法
证
明
题
例
A ，
B ，
C 为
ABC 内角 .
求证：
A ，
B ，
C 中至少有一个不小于
60o.
a3
b3
2矛盾.
所以假设不成立，所求证结论成立.
例 an
是公比为的等比数列，
Sn 为它的前 n 项和 .
求证：
S
不是等比数列 .
n
证明：假设是
Sn
等比数列，则
S22
S1
S3 ，
即 a12 (1 q) 2
a1 a1 (1 q q2 ) .
因为等比数列 a1
0
，
所以 (1
q)2
1
q
q2
即 q
0 ，与等比数列 q
0 矛盾，
所以假设不成立，所求证结论成立.
例
2 是无理数 .
证明：假设
2 是有理数，则存在互为质数的整数
m， n 使得
2
m
.
n
所以 m
2n 即 m2
2n2 ，
所以 m2 为偶数，所以
m 为偶数 .
所以设 m
2k (k N * ) ，
从而有 4k2
2n2 即 n2
2k 2
.
所以 n2 也为偶数，所以
n 为偶数 .
与 m， n 互为质数矛盾 .
所以假设不成立，所求证
2
是无理数成立 .
例 a, b 和平面，如果 a
,b
，且 a / /b ，求证 a / /
。
证明：因为 a / /b , 所以经过直线
a,b 确定一个平面。
因为 a
，而 a
，
所以 与 是两个不同的平面．
因为 b ，且 b ，
所以 I b .
下面用反证法证明直线 a 与平面 没有公共点．假
设直线

a 与平面

有公共点

P ，则

P

I

b ，
即点
这与

P 是直线 a 与 b 的公共点，
a / /b 矛盾．所以 a / / .
例 7．已知

0<a,b,c<2，求证： (2 a)c， (2 b)a， (2 c)b 不可能同时大于

1
证明：假设 (2 a)c， (2 b)a， (2 c)b 都大于 1，
即 (2 a)c>1 ,(2 b)a>1 ,(2 c)b>1 ，则 (2 a)c(2 b)a(2 c)b>1 ①
又因为设
(2 a)
a
1,
0<a