反证法证明题(简单).doc

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反证法证明题(简单)
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反证法证明题
,B,C为ABC内角.
求证:A,B,C中最少有一个不小于60o.
证明:假设ABC的三个内角A,B,C都小于60o,
即A60o,B60o,C60o,
因此AB
C180O,
与三角形内角和等于180o矛盾,
因此假设不成立,所求证结论成立.

0
,证明x的方程axb有且只有一个根.
证明:由于a
0,因此方程axb最少有一个根x
b.
a
假设方程ax
b最少存在两个根,
不如设两根分别为x1,x2且x1
x2,
则ax1b,ax2b,
因此
因此

ax1ax2,
a(x1x2)0.
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由于x1
x2,因此x1
x2
0,
因此a
0,与已知a
0
矛盾,
因此假设不成立,所求证结论成立.

b3
2,求证ab2.
证明:假设
ab
2
,则有a
2
b,
因此a3
(2
b)3即a3
812b
6b2
b3,
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因此a3812b6b2b36(b1)22.
由于6(b1)222
因此a3b32,与已知a3b32矛盾.
因此假设不成立,所求证结论成立.
,:Sn不是等比数列.
证明:假设是Sn等比数列,则S22
S1S3,
即a12(1q)2
a1a1(1qq2).
由于等比数列a10,
因此(1q)21qq2即q0,与等比数列q0矛盾,
因此假设不成立,所求证结论成立.

是无理数.
证明:假设
2是有理数,则存在互为质数的整数
m,n使得2
m.
n
因此m2n
即m2
2n2,
因此m2为偶数,因此m为偶数.
因此设m2k(kN*),
从而有4k22n2即n22k2.
因此n2也为偶数,因此n为偶数.
与m,n互为质数矛盾.
因此假设不成立,所求证2是无理数成立.
,b和平面,若是a,b,且a//b,求证a//。
证明:由于a//b,因此经过直线a,b确定一个平面。
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由于a,而a,
因此与是两个不同样的平面.
由于b,且b,
因此b.

设直线a与平面有公共点P,则Pb,
即点P是直线a与b的公共点,
这与a////.
<a,b,c<2,求证:(2a)c,(2b)a,(2c)b不可以能同时大于1证明:假设(2a)c,(2b)a,(2c)b都大于1,
即(2a)c>1,(2b)a>1,(2c)b>1,则(2a)c(2b)a(2c)b>1①
又由于设0<a,b,c<2,(2a)a(2a)a1,
2
同理(2b)b≤1,(2c)c≤1,
因此(2a)c(2b)a(2c)b≤1此与①矛盾.
因此假设不成立,所求证结论成立.
,y>0,且x+y>2,则1y和1x中最少有一个小于2
xy
证明:假设1y≥2,1x≥2,
xy
由于x,y>0,因此1y2x,1x2y,
可得x+y≤2与x+y>2矛盾.
因此假设不成立,所求证结论成立.
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<a,b,c<1,求证:(1a)b,(1b)c,(1c)a,不可以能同时大于1
4
证明:假设设(1a)b>1,(1
b)c>1,(1c)a>1,
4
4
4
则三式相乘:ab<(1a)b?(1b)c?(1c)a<1①
64
(1a)
2
又∵0<a,b,c<1∴0
a1
(1a)a
4
2
同理:(1b)b
1,(1
c)c
1
4
4
以上三式相乘:(1a)a?(1b)b?(1c)c≤1与①矛盾
64
因此原式成立
(x)
x2
pxq,求证:f(1),f(2),f(3)中最少有一个不小于1.
2
证明:假设f(1),f(2)
,f(3)都小于1,
2
则f(1)
2f(2)
f(3)2.(1)
另一方面,由绝对值不等式的性质,有
f(1)2f(2)f(3)f(1)2f(2)f(3)(2)
(1pq)2(42pq)(93pq)2
(1)、(2)两式的结果矛盾,因此假设不成立,原来的结论正确.
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