高中数学二项式定理.docx

高中数学二项式定理.docx二项式定理
【两年真题重温】
{x + —)(2x—)5
[2011-新课标全国理，8】 X X的展开式中各项系数的和为2,则该展开式中常
数项为( ).
A. -40 B. -20 C. 20 D. 40
【答案】D
【解析构 二项式定理作为一个重要的知识点， 伸和扩展是一个重点，丰富多彩的结构犹如“乱花"，迷住了不少同学的“眼"，如何把握？
(1)二项式展开式结构：根据给出的结构特征，通过拼凑使其满足二项式定理展开式的特 点，然后合并，从而达到化简作用.
例1设冬力加为整数(m>0),若a和方被刀除得的余数相同，则称a和对模am同余。
记为a 三 i>(mod %) <■已知 a = l + C£+C：oZ2 + C；oZ2- , b = a(modlO) >
则方的值可以是()
A. 2015
答案：B.
解析：因。=1 + + C*2 + Cij22 - +C芸219
则 2 o = C^120-2° + C]0119-21 + --C^230+1 =(1 + 2)30+1=320+1
._ (10-l)10+l _[C^1O1o+C^1O9(-O1+-Qo1O3(-1)7]+44O2
2 2
则。=a(modl0),则方被10整除的余数为1,答案B. 【点评】此类结构需要回归为二项式结构，把复杂的展开式根据通项公式的结构进行合并. 注意在合并之前要需看清是否满通顼公式的结构特征.
(2)(a + 5)"(c + d)'"结构：①若n、m中一个比较小，可考虑把它展开得到多个；②观察 (a + b)(c + d)是否可以合并；③分别得到(a + by\(c + dy的通项公式，综合考虑.
(1+ 折)6 (1 + 新。
例2 V》展开式中的常数项为()
A. 1 B. 46 C. 4245 D. 4246 答案：D r r r r r r
解析：分别求两个因式的通项：(+1 = Cjx3, 4，.i = '，贝UCjx3 -C[Qx ' = C^C[qX3 '
又0WrW6一OWr'WlO,则】一一=0,解得r = / = Osr = 3且,' = 4/= 6且* =8.
3 4
即常数项为1 + + C：C如=4246.
【点评】此类结构因两个因式都是高校，采用每个因式分别求其通项公式，然后进行合并, 应该注意两个通项要区别八/.
(a + b+c)n结构:①(a + b+c)n= ((a + 5) + c)n 其中两项看作一顼，然后展开求
解；②(a + b+c)n=(p+q)n即利用公式把三项变成二项.
(-+ - + ^2)5
例3 2 x 的展开式中整理后的常数项为
63很
答案：2
解析一：砺=C：2；U + b j,其中 k满足 ,
2 x
(-+ -)5-'的通项公式为Qi =氏_淬-'『*-'205 =C；k尸*2膈'-5
2 x
其中 0WrW5・k,rEN,令 5-2r-k=O,k+2r=5,解得 k=l,r=2;k=3,r=l;k=5,r=O
当k=l,r=2时，得展开式中项为=二^_ ；当k=3,r=l时，得展开式中项为
多;2皿・2-】=20很；
当k=5,r=0时得展开式中项为C/472 = 4^2，综上的展开式中整理后的常数项为竺旧
2
解析二：q + ( + JI)5 =(£ + 8)1。则4+1 =。>(!)早则当上=5 ,取得常数项
63^2
2
【点评】解析一采用的思路是(a-3)为一项，根据二项式定理展开，然后再考虑(。+ 3)”的
通项；解析二利用完全平方式进行合并，把三项转化为二项.
(a + b)” +(c+d)"+…结构:观察各顼是否组成等比数列，若是可利用求和公式合并然后
求解；若不能，就分别求解.
例4在(l-x)5+(l-x)6+(l-x)7+(l-x)a (x^l)的展开式中，含x3的项的系数是()
A. 74 C.—74 D.—121
答案：D
解析：—尸+qf+qf+qf= (I-夙】-。-湖=(】顼 Tlf )9, l-(l-x) X
(l-x)5中F的系数为C=5,-(l-x)9中亍的系数为-痒=-126,-：126+5=-：121,故选D.
【点评】此题采用等比数列求和公式把原式进行合并，然后根据二项式定理展开式公式进行 求解.
a"结构：</ = ((4-幻+矿，然后展开分析求解.
—I I 例
5若对于任意实数X,有疽=%+。1(》_2) +。2<>_2)2+。33_2)3,则。2的值为