函数的单调性.ppt

函数的单调性87076
如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2），那么就说f（x） .
函数的单调性87076
如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）＜ f（x2），那么就说f（x） .
在这个区间上是增函数.
如果对于属于定义域I内的某个区间上的任意两个自变量的值x1 、x2，当x1＜x2时，都有f（x1）> f（x2），那么就说f（x） .
在这个区间上是减函数.
增函数与减函数定义
-5
O
x
y
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
1
2
3
-1
-2
例1:下图是定义在[－5，5]上的函数y＝f（x）的图象，根据图象说出y＝f（x）的单调区间，以及在每一单调区间上， y＝f（x）是增函数还是减函数.
解：
y＝f（x）的单调区间有
[－5，－2，[－2，1）
[1，3），[3，5].
其中y＝f（x）在[－5，－2）， [1，3）上
是减函数，
在[－2，1）， [3，5）上是增函数.
作图是发现函数单调性的方法之一.
单调递增区间：
单调递减区间：
x
y
2
1
o
证明：
（设条件）
（论证结果）
（下结论）
证明：
设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，则
1
－1
－1
O
x
y
1
f（x）在定义域上是减函数吗？
减函数
取x1=-1，x2=1f（-1）=-1f（1）=1-1＜1f（-1）＜f（1）
证明：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
f（x1）＜ f（x2）
f（x1）－f（x2）＜0
f（x1）＝3x1＋2
f（x2）＝3x2＋2
f（x1）－f（x2）＝（3x1＋2）－（ 3x2＋2）
＝3（x1－x2）
由x1＜x2，得 x1－x2＜0


另证：
设x1，x2∈R，且x1＜x2，则
3 x1＜3x2

3 x1+2＜3x2+2
即f（x1）＜ f（x2）
a＜b，c＞0ac＜bca＜ba＋c＜b＋c
设x1，x2是R上的任意两个实数，且x1＜x2，则
思考:判断函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上
是增函数还是减函数？并给予证明。
O
x
y
1
1
解：
函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
下面给予证明：
设x1，x2∈（0，＋∞），且x1＜x2
∴函数f（x）＝x2＋1在（0，＋∞）上是增函数.
增函数
减函数
图象
图象特征
自左至右，图象上升.
自左至右，图象下降.
数量特征
＜x2时，y1＜y2
＜x2时，y1＞y2
O
x
y
x1
x2
y1
y2
O
x
y
x2
x1
y1
y2
小结：