全国高中数学联赛江苏赛区初赛试卷.docx

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1. 已知函数，则 答：[ ]
（A）有最小正周期 （B）有最小正周期
（C）有最小正周 .
三、解答题（本题满分60分，共4小题，每题各15分）
13. 设不等式组 表示的平面区域为. 区域内的动点到直线
和直线的距离之积为. 记点的轨迹为曲线. 过点的直线与
曲线交于、两点. 若以线段为直径的圆与轴相切，求直线的斜率.
14. 如图，斜三棱柱中，面是菱形，，侧面
B1
B
A1
C1
A
C
，.
求证：（1）；
（2）求点到平面的距离.
15. 已知数列中，，，. 求.
16. 已知平面上个圆，任意两个都相交. 是否存在直线，与每个圆都有公共点？证明
你的结论.
2007年江苏省高中数学联赛初赛试题参考答案及评分标准
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．已知函数，则（B）.
（A）有最小正周期为（B）有最小正周期为
（C）有最小正周期为（D）无最小正周期
解：，（B）．
2．关于的不等式任意两个解的差不超过9，则的最大值与最小值
的和是（ C ）.
（A） 2 （B） 1 （C） 0 （D）
解：方程的两根是，，则由关于的不等式
任意两个解的差不超过，得，即
. 故选（C）．
3. 已知向量a、b，设ab，ab，ab，则一定共线
的三点是（ A ）.
（A）A、B、D（B）A、B、C（C）B、C、D（D）A、C、D
解：ab，所以A、B、D三点共线. 故选（A）．
4．设、、为平面，、为直线，则的一个充分条件是（ D ）.
（A），，（B），，
（C），，（D），，
解：（A）选项缺少条件；（B）选项当，时，；（C）选项当
、、两两垂直（看着你现在所在房间的天花板上的墙角），时，；
（D）选项同时垂直于同一条直线的两个平面平行．（D）．
5. 若、，其中，，并且
，则实数对表示平面上不同点的个数为（ C ）
（A）个（B）个（C）个（D）个
解：由及题设知，
，故
（1）由知，首位数字的可能选择有种；
（2）由及知，首位数字的可能选择有种.
于是，符合题设的不同点的个数为种. 故选（C）．
6．已知（R），
且则a的值有（ D ）.
（A）2个（B）3个（C）4个（D）无数个
解：由题设知为偶函数，则考虑在时，恒有
．
所以当，且时，恒有．
由于不等式的解集为，不等式
的解集为．因此当时，恒有
. 故选（D）．
二、填空题（本题满分54分，每小题9分）
7．设为等差数列的前项和，若，，则公差为 .
解：设等差数列的首项为，公差为.
由题设得即解之得.
8. 设且的图象经过点，它的反函数的图象经过点
，则等于.
解：由题设知化简得
解之得（舍去）. 故等于4.
9．已知函数的图象如图，则满足的
的取值范围为．
解： 因为 ，所以
.于是，由图象可知，，即 ，解得