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集合的概念与运算技巧
集合的概念与运算技巧
　　　　　　　　　　　　编稿：林景飞　　　审稿：张扬　　责编：严春梅
命题趋向：
　　1．高考试题通过选择题和填空题，以及大题的解集，全面考查集合与简易逻辑的知识，题型新，分值稳定
　　③解决集合相等的问题易产生与互异性相矛盾的增解，这需要解题后进行检验和修正
　　举一反三：
　　【变式1】假设A={2，4, },
　　　　　　　 B={1, , ,－, }，
　　　　　　 且A∩B={2，5}，那么实数的值是________．
　　【答案】：∵A∩B={2，5}，∴,由此求得或．
　　　　　　　A={2,4,5}，集合B中的元素是什么，它是否满足元素的互异性，有待于进一步考查．
　　　　　　　当时，，与元素的互异性相违背，故应舍去．
　　　　　　　当时，B={1,0,5,2,4}，与A∩B={2，5}相矛盾，故又舍去．
　　　　　　　当时，A={2，4，5},B={1,3,2,5,25}，此时A∩B={2，5}，满足题设．
　　　　　　　故为所求．
　　【变式2】集合A={
,,}，B={,,}．假设A=B，那么的值是______．
　　【答案】分两种情况进行讨论．
　　　　　　〔1〕假设=且=，消去b得：，
　　　　　　　　 时，集合B中的三元素均为零，和元素的互异性相矛盾，故．
　　　　　　　　 ∴，即c=1，但c=1时，B中的三元素又相同，此时无解．
　　　　　　〔2〕假设＋b=c2且＋2b=c，消去b得：2c2－c－=0，
　　　　　　　　 ∵≠0，
　　　　　　　 　∴ 2c2－c－1=0，即(c－1)(2c＋1)=0，又c≠1，故．
类型三：证明、判断两集合关系的方法
　　集合与集合之间的关系问题，是我们解答数学问题过程中经常遇到，并且必须解决的问题，因此应予以重视．反映集合与集合关系的一系列概念，都是用元素与集合的关系来定义的．因此，在证明〔判断〕两集合的关系时，应回到元素与集合的关系中去．
　　3. 设集合A={a|a=3n＋2,n∈Z}，集合B={b|b=3k－1,k∈Z}，那么集合A、B的关系是________．
　　思路点拨: 此题主要考查集合间关系的运算.
　　解析：设a∈A，那么a=3n＋2=3(n＋1)－1(n∈Z)，
　　　　　 ∵n∈Z,∴n＋1∈Z.∴ ∈B,故． ①
　　　　　 又设 b∈B，那么 b=3k－1=3(k－1)＋2(k∈Z),
　　　　　 ∵ k∈Z,∴k－1∈Z,∴ b∈A，故 　　　②
　　　　　 由①、②知A=B．
　　总结升华：这里说明a∈B或b∈A的过程中，关键是先要变〔或凑〕出形式，然后再推理．
　　举一反三：
　　【变式1】假设A、B、C为三个集合，，那么一定有〔 〕
　　　　　　 A . 　　　　B .　　　　C .　　　　D .
　　【答案】选A.
　　　　　　由
知，，应选A.
　　【变式2】全集，且，，那么等于〔　　〕
　　　　　　 A．{2} 　　　B．{5} 　　　C．{3，4} 　　　D．{2，3，4，5}
　　【答案】选C.
　　【变式3】设集合,那么满足的集合B的个数是〔 〕
　　　　　　 A . 1 　　　B .3 　　　C .4 　　　D . 8
　　【答案】选C.
　　，，那么集合B中必含有元素3，即此题可转化为求集合的子集个数问题，所以满足题目条件的集合B共有个.
　　【变式4】记关于的不等式的解集为，不等式的解集为．
　　〔I〕假设
，求；
　　〔II〕假设，求正数的取值范围．
　　【答案】〔I〕由，得．
　　　　　　〔II〕．
　　　　　　 　　由，得，又，所以，
　　　　　　　　 即的取值范围是．
类型四：空集的特殊性和特殊作用
　　空集是一个特殊的重要集合，它不含任何元素，是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．显然，空集与任何集合的交集为空集，与任何集合的并集仍等于这个集合．当题设中隐含有空集参与的集合关系时，其特殊性很容易被无视的，从而引发解题失误．
　　4. 集合A={x|x2＋(m＋2)x＋1=0,x∈R}，假设A∩=，那么实数m的取值范围是_________．
　　思路点拨:从方程观点看，集合A是关于x的实系数一元二次方程x2＋(m＋2)x＋1=0的解集，而x=0不是方程的解，所以由A
∩=可知该方程只有两个负根或无实数根，从而分别由判别式转化为关于m的不等式，并解出m的范围．
　　解析：由A∩=,又方程x2＋(m＋2)x＋1=0无零根，
　　　　　 所以该方程只有两