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第一章随机事件和概率
(1)排列组 合公式
从m个人中挑出n个人进行排列的可能数。 从m个人中挑出n个人进行组合的可能数。
(2)加法和 乘法原理
加法原理(两种方法均能完成此事)：m+n
某件事由两种方法来完成，A种方法可由m种n个事件类似。
(15)全概公 式
设事件满足
1°两两互不相容， ，
2 ,
则有
O
(16)贝叶斯1
巳事件，，…，及满足
公式
1；，…，两两互不相容，>0, 1, 2,…，，
2 ,, 则
,i=1 , 2, •••n。 此公式即为贝叶斯公式。
,(,，…，)，通常叫先验概率。，(，，…，)，通常称为后验概率。贝
叶斯公式反映了 因果”的概率规律，并作出了 的果朔因”的推断。
(17)伯努利 概型
我们作了次试验，且满足
u每次试验只用两种可能结果，发生或 不发生；
u次试验是重复进行的，即 发生的概率每次均一样；
u 每次试验是独立的，即每次试验发生与否与其他次试验 发生与否是互不影
响的。
这种试验称为伯努利概型，或称为重伯努利试验。
用 表示每次试验 发生的概率，则 发生的概率为，用 表示 重伯努利试验中 出 现次的概率，
) 。
第二章随机变量及其分布
(1)离散型 遁机变量的 分布律
设离散型随机变量的可能取值为Xk(k=1,2,…)且取各个值的概率，即事件
(X=Xk)的概率为
p(X=xk)=pk , k=1,2, •,•
则称上式为离散型随机变量的概率分布或分布律。有时也用分布列的形式给
出：
3
显然分布律应满足卜列条件：
(1),,⑵。
(2)连续型 遁机变量的 “布密度
设 是随机变量 的分布函数，若存在非负函数，对任意实数，有
则称 为连续型随机变量。称为 的概率密度函数或密度函数，简称概率密度。
南度函数具有卜面 4个性质：
1° 。
2。
(3)离散与 g续型随机 变量的关系
积分元在连续型随机变量理论中所起的作用与在离散型随机变量理论中所起
的作用相类似。
(4)分布函
设 为随机变量，是任意实数，则函数
豚为随机变量X的分布函数，本质上是一个累积函数。
可以得到X落入区间 的概率。分布函数 表示随机变量落入区间(-8, x］内 的概率。
分布函数具有如下性质：
1°；
2是单调/、减的函数，即 时，有；
3° ,；
4。，即是右连续的；
-0
5。
对于离散型随机变量，；
对于连续型随机变量，。
(5)八大分
0-1分布
P(X=1)=p, P(X=0)=q
J项分布
在 重贝努里试验中，设事件发生的概率为。事件 发生的次数
是随机变量，设为 ，则可能取值为。
,其中，
则称随机变量服从参数为，的二项分布。记为 。
当时，，，这就是(0-1)分布，所以(0-1)分布是二项分布 的特例。
泊松分布
设随机变量的分布律为
? ? ?
则称随机变量 服从参数为 的泊松分布，记为或者P()。
泊松分布为二项分布的极限分布(np=X, n-8)。
段几何分布
随机变量X服从参数为n,N,M的超几何分布，记为H(n,N,M)。
几何分布
,其中 p>Q q=1-p。
随机变量X服从参数为p的几何分布，记为 G(p)。
4匀分布
设随机变量 的值只落在［a,b］内，其密度函数 在［a, b］上为常数， 即
a< x<b
其他，
则称随机变量 在［a, b］上服从均匀分布，记为 X~U(a, b)。
分布函数为
a< x<b
0,x<a,
1,x>b。
当awx1<x2w的，X落在区间()内的概率为
O
指数分布
,
0,,
其中，则称随机变量 X服从参数为 的指数分布。 X的分布函数为
,
x<0。
记住积分公式：
正态分布
设随机变量的密度函数为
其中、为常数，则称随机变量服从参数为、的正态分布或
高斯(Gauss)分布，记为。
具有如下性质：
1°的图形是关于对称的；
2 当时，为最大值； 若，则的分布函数为
o O
参数、时的正态分布称为标准止态分布，记为，其密度函数
记为
分布函数为 O
是不可求积函数，其函数值，已编制成表可供查用。
①⑻=1-①(x)M①(0)=。
如果~，则~。
O
(6)分位数
F分位表：；
上分位表：。
(7)函数分
E攵型
已知的分布列为
的分布列(互不相等)如下：
若后某些 相等，则应将对应的 相加作为 的概率。
(续型
先利用X的概率密度fX(x)写出Y的分布函数FY(y) = P(g(X) <y) 再利用变上下限积分的求导公式求出fY(y)。
第