数列的子列.doc

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Error! Bookmark not defined. 　 § 数列的子列
定义1：设为数列，为正整数集的无限子集，且,则数列 ,称为数列的一个子列,简记为。
在数列中,保持原来次序自左往右2 / 6
Error! Bookmark not defined. 　 § 数列的子列
定义1：设为数列，为正整数集的无限子集，且,则数列 ,称为数列的一个子列,简记为。
在数列中,保持原来次序自左往右任意选取无穷多个项所得的数列称为的子列，记为,其中表示在原数列中的项数,表示它在子列中的项数.
定义2：　数列本身以及去掉有限项后得到的子列,称为的平凡子列；不是平凡子列的子列，称为非平凡子列。
性质:一个数列与它的任一平凡子列同为收敛或发散;且在收敛时有相同的极限。
对数列的子列,有如下结果:
(1) 对每一个,有.
（2)　对任意两个正整数，如果,，若,则.
(3) ,有.
（4) 数列收敛的充要条件是 和 　收敛到同一极限．
证明:　必要性. 设，则任给，找得到正整数Ｎ,当时,有.　此时对２N, 当２n>２N时也有,　亦即.　同理可证.
充分性． 设, 则对任给,　找得到正整数N,当ｎ>N时，有
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　 　　　 　 　 　①
同时可找到正整数M,　当n＞M时,有
　 　　　　 　 　 　 　　②
从而取N0 =ｍax{2Ｎ, 2M+１}， 当n>N0时,　n为偶数,　则满足①; ｎ为奇数，　则满足②,
即当n>N时，有,　亦即 ．
(5）若,和都收敛,且有相同的极限，则收敛。或者说：数列收敛的充要条件是 ,和收敛到同一极限.
证明:　 设，则由数列极限的定义，知,,，；同样也有,，;,，。
取，当时,对任意的自然数 ｎ ，若,则必有，从而；同样若,则必有,从而也有;若,则必有,从而。所以，即收敛。
(6)数列收敛的充要条件:的任何子列都收敛于同一极限.
证明:必要性. 设是的任一子列.,使得当时有. 由于，故当时更有,从而也有, 这就证明了．
充分性． 考虑的子列　.,又是的子列,故由刚才证明的必要性有
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.又既是又是的子列, 同样可得.　故． 由上面的（4)点可知收敛．