空间向量知识点归纳.docx

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空间向量期末复习知识要点：
1.
2.
空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。
（2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来—1)
D. (1,—1,1)或(—1,1,—1)
4. 若a=(2,—3,5),b=(—3,1，—4)，则|a—2b|=.
5. 如图所示，
已知正四面体ABCDKAE=4aBCF=£cD则直线DE和BF所成角的余弦值为
解析•/a—2b=(8,—5,13),
•••|a—2b|=8+?—5?2+132=258.
解析因四面体ABCD是正四面体，顶点有BCLDAABLCD设正四面体的棱长为
A在底面BCD内的射影BCD的垂心，所以
4,
则BF・De=(E^C^CfF•(DavAe
=0+BC*AEVCF*DA^0
=4X1Xcos120°+1X4Xcos120°=—4,
BF=DE=42+12—2X4X1Xcos60°=13,
所以异面直线DE与BF的夹角0的余弦值为：
cos
9==
4
13.
如图所示，在平行六面体ABCDABCD中，设AA=a,AB=b,AD=c,MN,P分别是AA,BCCD的中点，试用a,b,c表示以下各向量：
uur
AP;uuu
AN;LULTUULU
(1) MP+NC1.
解：(1)•••P是CD的中点，uuuuuuuLurujiui
…AP=AA+A1D1+D1Puur1ujuu
=a+ad+2DG1uuu
=a+c+2AB1
=a+c+尹
uuunuuurmu…AN=AA+AB+
luur1uuuBN=—a+b+2BC
1iur1
=—a+b+2AD=—a+b+qc.
TM是AA的中点，HITiuruuu1uuuuuu
•••MP=MA+AP=2AA+AP1111=—qa+a+c+2b=qa+2»+c,
uuuuuruuu1UirUUU又NG=NC+CG=2BC+AA1uuruuu1
=2AD+AA=2c+a,uiruuuu
•MP+NC=2a+2b+c+a+2c313
=^a+2b+2c.
，△ABC为等腰直角三角形，/BAC=90°,且AB=AA,D,E,F分别为BA，CC,BC的中点.
(1)求证:
DE//平面ABC
⑵求证:
BF丄平面AEF
证明：以
A为原点，ABACAA所在直线为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直
角坐标系Axyz，令AB=AA=4，贝UA(0,0,0),E(0,4,2),F(2,2,0),B(4,0,4),D(2,0,2),A(0,0,4),uuruuu
(1)DE=(—2,4,0)，平面ABC勺法向量为AA=(0,0,4),uiruuu
•••de•AA=0,DE＞平面ABC
•DE//平面ABCuuuuu
(2)BF=(—2,2,—4),EF=(2,—2,—2),
uuuruuu
B1F•EF=(—2)X2+2X(—2)+(—4)X(—2)=0,uuuuuuu
•-B1F丄EF,BF丄EF,
uuiuuur
B^•AF=(—2)X2+2X2+—4)X0=0,uuuuuuu
二B1F丄AF,•BF丄AF
•/AFnEF=F,•BF丄平面AEF
，在四棱锥P-ABCD中，PC丄平面ABCDPC=2,在四边形ABCD中，/B=/C=90°,AB=4,CD=1，点M在PB上,PB=4PMPB与平面ABCD成30°：
⑴CM平面PAD
(2)平面PABL平面PAD
证明：以C为坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Gxyz.
•/PCL平面ABCD
•••/PBC为PB与平面ABCD^成的角,
•••/PBC=30°,
•/PC=2,•BC=23,PB=4,
•Q0,1,0),023,0,0),A(23,4,0),P(0,0,2),M#0,2,iuur
•DP=(0,—1,2),
uuu
DA
=(23,3,0),
uuiuCM
设n=(x,y,z)为平面PAD的一个法向量,LULTDP•n=0,―y+2z=0,
由uuu即一DA•n=0,2,3x+3y=0,
令y=2，得n=(—3,2,1).
UJLU33
tn•CM=—3x-^+2X0+1X=0,uuuu
*
* CM/平面PAD
⑵如图，取AP的中点E,,2,1),
uuu
BE=(—.3,2,1).
•/P