分析中考数学中的四点共圆_赵宏伟.pdf

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青年专号蒙自师专学报。 V o l 6 N 1
声“ o u r n o e n e a e e rz s s e
年月 1 98 9 6 “ J a l f M g i T h I n t i t t J n 1 9 8 9
分析中考数学中的四点共圆关
赵宏伟
弥勒一中( )
摘要
四点共国问题充分体现了直线形的园内接四边形与圆的密切联系, 通常还融会了直
线形和圆的一些重要性质。通过讨四点共圆问题的学习, 可以提高分析问题、解决问题
和综合运用的能力。
在几年的中考中, 均出现了关于圆的综合题, 我认为其目的是: 首先检查考生掌握
圆的一部分知识情况, 其次着重检查考生综合运用知识的能力。云南省在这两年关于圆
的综合题的证明中, 都可以通过四点共圆进行证明, 足见四点共圆的重要性。
. , ` 、,
例 1 已知: 0 0 与④ O 产外切于 P 过 P 点作直线交 0 0 与 0 0 于 A B A C 是 0 0
· ·
的弦, 过 B 点作 0 0 尸的切线交 A C 的延长线于 D , 求证: A P A B 二 A D A C
( 1 9 8 7年云南省中考试题)
· , : 、、、。
分析: 要证等积式 A .P A B 二 A C A D 则须证点 P B D C 共圆于是连结
. 。
P C , 得到四边形 P B D C 又因为 0 0 与 0 0 尹外切于 P , 两圆相切常作它们的公切线不
帝 1 9 8 9 年 3 月 1 2 日收至. 1
.
妨过点 P作内公切线 P E, 交 B D 于点 E 又因 B D 切 0 0 产于点 B , 联想到切线长定理,
。
E B = E P , 所以艺 1 = 乙 B 。而对顶角乙 1 = 匕 2 , 弦切角乙 2 = 乙 3 . 于是乙 3 二
、、、。
乙 B , 即四点 P B D C 共圆再由割线定理, 命题得证。( 证明略) 下面例均省去
证明过程。
.
例 2 已知: A B C D是矩形, 延长 A D 到 E , 使 A E 二 A B , F 是 A B 上一点, 延长
.
B C到 G , 使 C G 二 A F , E F 交 D G 于 H , 求证: 匕 D H B = 9 0
( 19 8 8年云南省中考试题)
乡,
气 r . . . . . . 吧, 召留
时仪
分析: 令 E F 交 C D 于点 P , 由于四边形 A B C D 是矩形, 所以匕 D C G 二 9 0 , 要证
、、、.
乙 D H E = 90 。, 考虑四点 P C G H 共圆, 须证乙 1 = 乙 G 因为乙 1 二匕 2 ( 两直
线平行, 内错角相等) , 于是只须证乙 2 二 G , 这个结论可以通过证 R t △ A E F 丝 R t △ C D G
得到。
。
例 3 如图, △ A B C 中 B C 边上的高 A D 延长线交外接圆于 G , D H 二 D G , B H 的延
· · .
长线交 A C 于 E , 求证: ( z ) B E 土 A C , ( 2 )