矩阵的初等变换与初等矩阵.ppt

矩阵的初等变换与初等矩阵
第1页，共22页，编辑于2022年，星期五
初等变换
交换第i行与第j行记为rirj .
1
5
-1
-1
1
-2
1
3
1
-9
3
7
3
8
0
1
1
0
0
-1
—
0
0
4
6
r2-2r 1
0
1
0
3
—
1
0
0
-1
0
0
4
6
1/4c3
0
0
4
—
0
1
0
1
0
0
3
0
6
0
0
6
0
1
0
1
0
0
0
0
4
—
c4+c 1
c4-3c 2
例如：
0
0
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
—
c4-6c3
第9页，共22页，编辑于2022年，星期五
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
=E(2, 4)
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E=
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
r2r4
———
=E(2, 4)
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E =
0
0
0
1
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
0
c2c4
———
下页
初等矩阵
第10页，共22页，编辑于2022年，星期五
=E(3(4))
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E=
0
0
4
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
4 r3
———
=E(3(4))
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E=
0
0
4
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
4 c3
———
下页
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
初等矩阵
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
第11页，共22页，编辑于2022年，星期五
=E(2,4(k))
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E =
0
1
0
k
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
r2+kr4
———
=ET(2,4(k))
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
E=
1
0 0
0
0 0
0
1 0
0
0 1
0
1
0
k
c2+kc4
———
下页
定义2 对单位矩阵E施以一次初等变换得到的矩阵称为
初等矩阵（或初等方阵）.
初等矩阵有下列三种： E(i, j) 、E(i(k))、E(j,i(k)) .
初等矩阵
例如，下面是几个4阶初等矩阵：
第12页，共22页，编辑于2022年，星期五
初等矩阵都是可逆的，且它们的逆矩阵仍是初等矩阵.
初等矩阵的可逆性
E(j,i(k))-1=E(j,i(-k)) .
E(i(k))-1=E(i(k -1))；
E(i, j)-1=E(i, j)；
这是因为，初等矩阵的行列式及逆矩阵分别为:
下页
|E(j,i(k))|=1 .
|E(i(k))|= k (k≠0) ；
|E(i, j)|=- 1；
第13页，共22页，编辑于2022年，星期五
E(1, 2)A=
=
与交换A的第一行(列)与第二行(列)所得结果相同.
AE(1, 2)=
=
例如，设
下页
定理1 设A是一个mn矩阵，对A施行一次初等行变换相当于
用相应的m阶初等矩阵乘矩阵A；对A施行一次初等列变换相当于
用矩阵A乘相应的n 阶初等矩阵的转置矩阵.
第14页，共22页，编辑于2022年，星期五