矩阵的初等变换与初等矩阵.doc

§:(1)交换矩阵的第列,用记之;(2)用非零数乘矩阵的第列,用记之;(3)把矩阵的第列的倍加到第列,用记之。矩阵的初等行变换与列变换,统称为矩阵的初等变换。如果矩阵经过有限次初等(行,列)变换,化为矩阵,就称矩阵与(行,列)等价,记作。矩阵的等价具有以下性质:(1)反身性;(2)对称性如果,则;(3)传递性如果,,则。利用初等行变换,将方程组的增广矩阵化为行最简形,从而得出方程组的解。可见,讨论矩阵的某种结构简单、而形式特定的等价矩阵,在理论和实际应用上都是必要而有价值的。对矩阵的行最简形再施行初等列变换,可得到一种结构最为简单的形式。以§,矩阵的行最简形为,再经初等列变换化为。称矩阵为矩阵的等价标准形。:,其中下方及右边的零行,零列可能空缺。由行列式的性质可知,行列式不为零的方阵,其等价矩阵的行列式也不为零。由此可得以下结论:可逆矩阵的等价矩阵也为可逆矩阵;可逆矩阵的行最简形就是等价标准形,且一定是单位矩阵。。相应于矩阵的三种初等变换,初等矩阵(elementarymatrix)有三种:(1):由单位矩阵交换第行(列)而得的方阵;(2):由单位矩阵的第行(列)乘非零数而得的方阵;(3):由单位矩阵的第行乘数加于第行而得的方阵,也即由单位矩阵的第列乘数加于第列而得的方阵。在矩阵的初等变换与初等矩阵之间,存在着一种本质而美妙的关系。。(1)对矩阵施以某种初等行变换得到的矩阵,等于用同种的阶初等矩阵左乘。(2)对矩阵施以某种初等列变换得到的矩阵,等于用同种的阶初等矩阵右乘。证明以第三种初等列变换为例证之。将矩阵和单位矩阵按列分块,,。经列变换,矩阵和单位矩阵分别变换为,。由§,于是。。其余情形请读者证明。,初等矩阵可逆,其逆矩阵也为初等矩阵,具体如下:,,。。证明若可表成若干初等矩阵的乘积,由初等矩阵可逆,即知可逆。若可逆,则的行最简形为单位矩阵,,存在初等矩阵,使,于是。,使。更具体地有(1)矩阵与行等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵,使。(2)矩阵与列等价的充分必要条件是存在阶可逆方阵,使。,可以通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后解之。因此,这里主要介绍标准矩阵方程,的初等变换解法。设为可逆矩阵,则矩阵方程的解为。注意,,经若干次初等行变换可以化为。对矩阵方程可作类似的分析。因此,我们有(1)矩阵方程的初等行变换解法:,。特别地,取,则有逆矩阵的初等变换求法:。(2)矩阵方程的初等列变换解法:,。,求。解,因此。,,,求线性方程组和的解。解设,。记,,则两个线性方程组可合成一个矩阵方程。。线性方程组和的解依次为和。,,求解。解,因此。