定积分 第四节 反常积分.ppt

二、无界函数的反常积分第四节常义积分积分限有限被积函数有界推广一、无穷限的反常积分反常积分(广义积分)反常积分一、?和直线1?x及x 轴所围成的开口曲边梯形的面积21yx?A1可记作21dxAx????其含义可理解为?????bbxxA12dlimbbbx11lim??????????????????????bb11lim1?,),[)(???aCxf,ab?取若xxfbabd)(lim????存在,则称此极限为f (x) 的无穷限反常积分, 记作xxfxxfbabad)(limd)(????????这时称反常积分xxfad)(???收敛;如果上述极限不存在,就称反常积分xxfad)(???, 若,],()(bCxf???则定义xxfxxfbaabd)(limd)(????????,),()(?????Cxf若则定义??????xxfd)(xxfcaad)(lim????xxfbcbd)(lim?????( c为任意取定的常数)只要有一个极限不存在, 就称xxfd)(?????.,)()(的原函数是若xfxF引入记号( ) lim ( ) ;xF F x??????( ) lim ( )xF F x??????则有类似牛–莱公式的计算表达式:( )daf x x???)(xF?a??)()(aFF????( )dbf x x???)(xF???b)()(????FbF( )df x x?????)(xF?????)()(??????FF解.??001x xe dx e????? ?????0这个广义积分值的几???t时,图5-7中阴影部其面积却有极限值1 .分向左无限延伸,但何意义是,当yxo1txey?图5-??????xx解:??????21dxx?????]arctan[x)2(???2????思考:?01d2对吗???????xxx分析:????????????)1ln(211d22xxxx原积分发散!注意:对反常积分, 只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,?????????????00xdxsinxdxsindxxsin????.xcosxcos????????00极限不存在dxxsin???????????若认为积分区间关于原点对称,被积函数为奇函数,得出结果为零,( 0)paxax????证:当p =1 时有???axxd?????axln??????apxxd???????????appx11????当p ≠1 时有1?p1p?1,1pap??当p >1 时收敛; p≤1时发散.,??因此, 当p >1时, 反常积分收敛, 其值为1;1pap??当p≤1时, 反常积分发散. .)0(d0?????ptettp解:pttep???0???????0d1teptptpep???210??21p?0ptetdp?????原式=