[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-1.ppt

第一章 n阶行列式
解n元一次方程组
常用的方法是消元法,通过消元得到axi=b,进而解出xi. 当然a, b都是由方程组中的系数确定的. 经过长期的实践,数学家们建立了行列式理论.
§1 预备知识
一二阶、三阶行列式
设下列方程组有解
用消元法解得
定义
称为二阶行列式.
同样
也是二阶行列式.
同样用消元法解三元方程组
得(a11a22a33+a12a23a31+a13a21a31a13a22a31  a12a21a33  a11a23a32)x1
=b1a22a33+a12a23b3+a13b2a32  a13a22b3  a12b2a33  b1a23a32
将x1前的系数定义为
三阶行列式.
考察二阶、三阶行列式的特点:
二阶、三阶行列式的每一项都是取自不同行不同列的元素的乘积. 二阶行列式有2!项,三阶行列式有3!项.
各项前的符号可能与每一元素所处的位置有关.
二排列及其逆序数
定义由1,2,···,n共n个数码组成的一个有序数组称为一个n阶排列。
例如1, 2, 3, 4可组成24=4!, 2, …, n可组成n!个不同的n阶排列.
对4阶排列1234及1324,1234为自然顺序,称为标准排列. 1324中3在2之前,称这两个数字构成一个逆序.
在一个排列中,若数
则称这两个数组成一个逆序.
例如排列32514 中,
定义
排列的逆序数
3 2 5 1 4
逆序
逆序
逆序
定义一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数.
例如排列32514 中,
3 2 5 1 4
逆序数为3
1
故此排列的逆序数为3+1+0+1+0=5.
计算排列逆序数的方法
方法1
分别计算出排在前面比它大的数
码之和即分别算出这个元素
的逆序数,这个元素的逆序数的总和即为所求
排列的逆序数.
逆序数为奇数的排列称为奇排列;
逆序数为偶数的排列称为偶排列.
排列的奇偶性
分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码
个数之和,即算出排列中每个元素的逆序数,
这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆
序数.
方法2
例1 求排列32514的逆序数.
解
在排列32514中,
3排在首位,逆序数为0;
2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1;