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[考研数学]北京航天航空大学线性代数 1-3.ppt

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第三节行列式按行(列)展开
定义
在n阶行列式D中,划掉元素aij所在的第i行和第j列后留下的n1阶行列式称为元素aij的余子式。记作Mij.
称为aij的代数余子式.
例如
n阶行列式D=|aij|n等于它的任意一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和。即
证
n阶行列式D中某一行(列)的各个元素与另一行(列)的对应元素的代数余子式乘积之和等于零。即
或
证明
我们只证第一个式子。等号左端的表达式可视为一个行列式按第i行的展开式,该行列式的特点是:第i行的元素就是D中第k行的元素,而且它的第i行与D的第i行对应的元素有相同的代数余子式。于是知该行列式为
i
k
由于B中第i行与第k行相同,则B=0,故
同理可证
证毕
,便得到了两个重要
公式:
设n阶行列式D,则
例1 计算行列式
解

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