86一阶差分方程.ppt

86一阶差分方程.ppt§ 一阶差分方程上页下页铃结束返回首页一、基本概念二、一阶常系数线性差分方程上页下页铃结束返回首页在经济与管理及其它实际问题中,许多数据都是以等间隔时间周期统计的。例如,银行中的定期存款是按所设定的时间等间隔计息,外贸出口额按月统计,国民收入按年统计,产品的产量按月统计等等。这些量是变量,通常称这类变量为离散型变量。描述离散型变量之间的关系的数学模型成为离散型模型。对取值是离散化的经济变量,差分方程是研究他们之间变化规律的有效方法。本节介绍差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法, 与微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常类似, 可对照微分方程的知识学习本节内容。一、基本概念上页下页铃结束返回首页?函数的差分下页一、基本概念设函数 y= f(x),当 x以相等间隔取一系列离散值 x, x +1 ,x +2 ,……,记作)(xfy x? xxxyyy????1 xy?则差 y x+ 1?y x称为函数 y x的差分,也称为一阶差分,记为函数在的一阶差分的差分为函数在的二阶差分, 记作,即)(xfy x?xx xy 2?)()()( 112 1 2 xxxxxxxx yyyyyyyy ????????????????xxxyyy?????122同样可定义三阶、. 上页下页铃结束返回首页?差分性质一、基本概念 xxyC Cy???)((2)(C为常数) xxxxzyzy??????)((3) (1) ( ) 0 C ? ?(C为常数) 例1 2 2 3 x y x x ? ?? xy? xy 2?设,求解 2 2 1 [( 1) 2( 1) 3] ( 2 3) 2 3 x x x y y y x x x x x ?? ???????????? 2 2 1 ( ) 2 x x x x x y y y y y ? ?? ?????? 2 2 2 [( 2) 2( 2) 3] 2[( 1) 2 1 3] 2 3 2 x x x x x x ? ?????????????() 上页下页铃结束返回首页?差分方程的基本概念下页含有自变量,未知函数以及未知函数差分的函数方程,称为差分方程例如 033 2??????xyyy xxx就是一个差分方程按函数差分定义,上差分方程又可分别表示为 05 12??????xyyy xxx因此差分方程又可定义为含有自变量和多个点的未知函数值的函数方程称为差分方程?差分方程的阶差分方程中实际所含差分的最高阶数,或差分方程中未知函数下标的最大差数,称为差分方程的阶数。 xxxxyyy32 12?????例如,方程是一个二阶差分方程上页下页铃结束返回首页下页?差分方程的解如果一个函数使得差分方程两边成为恒等式,则称此函数为该差分方程的解. 例如差分方程 2 1???xxyyxy x2 15??Axy x??2不难验证都是该差分方程的解(A为常数) ?通解?特解如果差分方程的解中含有相互独立的任意常数的个数恰好等于方程的阶数,则称它为差分方程的通解满足初始条件的解称为特解上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程?一阶常系数线性差分方程 0)(?xf当时称为非齐次的,否则称为齐次的形如是常数) (aaxf ay y xx,0)( 1????的方程称为一阶常系数线性差分方程(1) 0 1???xx ay y即(1) 的对应齐次方程为(2) 上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程 0 1???xx ay y?齐次线性差分方程的通解不妨设方程有形如下式的特解)0(??rry xx将其代入方程 0)(??arr x由于,因此 0?r ar?再由差分的性质,方程的通解由上述分析,为求出一阶齐次差分方程的通解,应先写出其特征方程,进而求出特征根,写出其通解。 xx Ca y?(C为任意常数) xxay?所以是方程的一个解 0 r a ? ?为特征方程为特征根上页下页铃结束返回首页求差分方程 y x +1?3y x =0 的通解和 y 0 =5 的特解. 例2解: 特征方程为 3 0 r ? ?特征根为 3r?差分方程的通解为 3 xx y C ? ?将y 0 =5 代入通解得: 0 5 3 C ? ?即 5C?故所求特解为: 5 3 xxy ? ?二、一阶常系数线性差分方程?齐次线性差分方程的通解上页下页铃结束返回首页二、一阶常系数线性差分方程?非齐次线性差分方程的