自考概率论与数理统计基础知识[统计学经典理论].doc

第一部分三角函数表
三角函数表
反三角函数表

第二部分极限
极限
数列极限:
刘徽的“割圆术”,设有一个半径为1的圆,在只知道直边形的面积计算方法之下,要计算其面积:
方法:先做圆的内接正六边形,其面积记为,再做一内接正12边形,记其面积为再做一内接正24边形,记其面积为,如此逐次将变数加倍。。。
得到数列,则当n无穷大时,有
函数极限:
常用的极限公式

常用的几个公式
等比数列公式:是等比数列,
当q<1时,等比数列的无穷项级数和为
等差数列公式: 或者:
例设二维随机变量的分布函数为
,
求:(1)常数a, b, c;
的概率密度.
解:(1)由分布函数的性质知
从上面第二式得, 从上面第三式得, 再从上面第一式得. 由于
从而概率密度为
第三部分导数
导数含义
函数值的增长与自变量增长之比的极限。
重要的求导公式

.
. .
. .
导数的四则运算
若函数,都在点处可导,则有
(ⅰ);
(ⅱ);
(ⅲ), .
例题:
解:(1)
(2)

(3)
(4)
在概率中的应用主要是知道分布函数求密度函数,需要对分布函数求导数。
.
3 复合函数的求导链式法则
两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数.

在利用复合函数的求导法则解决求导问题时,应该注意以下几点:
(1)准确地把一个函数分解成几个比较简单的函数;
(2)复合函数求导后,必须把引进的中间变量换成原来的自变量.
利用复合函数的求导法则求导的步骤如下:
(1)从外到里分层次,即把复合函数分成几个简单的函数;
(2)从左到右求导数,即把每一个简单函数对自身的自变量的导数求出来;
(3)利用链式求导法则,从左到右作连乘.
例题:

解函数可分解为则
由复合函数求导法则有

主要在第二章第四节里面用
第四部分原函数和不定积分
原函数:
已知是一个定义在区间内的函数,如果存在着函数, 使得对内任何一点,都有
或
那么函数就称为在区间内的原函数。
例如:是在区间上的原函数。
不定积分
在区间内,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间内的不定积分, 记作,即。
其中:称为积分号,称为被积函数,称为被积表达式,称为积分变量。
基本积分公式

由基本微分公式可得基本积分公式
(为常数),
(),
, ,
, ,
, ,
, ,
,
,
.
这些基本公式是求不定积分的基础,应熟记.
求不定积分的方法
第一类换元法
先看下例:
回忆:
令,
定理1 (第一类换元法):
这种方法称为凑微分法.(将公式中的箭头作出动态效果)
例1求下列不定积分
1、, 2
解1、令

2、
令
=
注意:
由上面的解题可发现,变量只是一个中间变量,在求不定积分的过程中,只是起过渡作用,最终都要换回到原来的积分变量。因此,在较熟练之后,可以采用不直接写出中间变量的做法。
例如:
通过以上例题,可以归纳出如下一般凑微分形式:
;
;
;
;
;
;
;

等等.
第二类换元法

2、分部积分法
利用复合函数微分法则导出了换元积分法,它能解决许多积分问题,但仍有许多类型的积分用换元法也不能计算,例如、、等等
本节我们用乘积的微分公式导出另一种重要的积分方法——分部积分法,可以解决许多积分问题.
设、是两个可微函数,由
得
.
两边积分,可得
.
即
. 分部积分公式
例子:
二、特殊情况
1、.
例6 求.
解


.
小结:
、,有分部积分公式:
.
当容易求出,.
.
如果被积函数是两类基本初等函数的乘积,使用分部积分法时进入微分号的顺序一般为:指数函数,三角函数,幂函数,反三角函数,对数函数。
第五部分定积分的基本性质
定积分性质
性质1 .
这个性质可推广到有限多个函数的情形.
性质2
(为常数).
性质3 不论三点的相互位置如何,恒有
.
这性质表明定积分对于积分区间具有可加性.
牛顿-莱布尼茨公式
定理2 ( 牛顿(Newton)-莱布尼茨(Leibniz)公式) 如果函数是连续函数在区间上的一个原函数,则

定积分的计算

设函数与均在区间上有连续的导数,由微分法则,可得
.