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第四节条件概率全概率公式
本讲稿第一页，共三十一页
若事件B已发生，则为使A也发生,试验结果必须是既在B中又在A中的样本点 , 即此点必属于AB。由于我们已经知道B已发生,故B变成了新的样本空间 , 于是有(1)式。
是两两互斥的事件，且
全概率公式:
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例6 甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击, 、、. ,, 若三人都击中, 飞机必定被击落, 求飞机被击落的概率。
则对任一事件B，有
称满足上述条件的
为完备事件组。
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设B={飞机被击落} Ai={飞机被i人击中}, i=1,2,3，则B=A1B+A2B+A3B
求解如下:
由全概率公式
为求P(Ai ), 设 Hi={飞机被第i人击中}i=1,2,3
可求得:
依题意，
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将数据代入计算得:
于是
。
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例7 有一批产品是由甲、乙、%,乙厂产品占30%,丙厂产品占20%,甲厂产品中正品率为95%,乙厂产品正品率为90%,丙厂产品正品率为85%,如果从这批产品中随机抽取一件,试计算该产品是正品的概率多大?
解 设A、B、C分别表示抽得产品是甲厂、乙厂、丙厂生产的，D 表示抽得产品为正品，
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从而任取一件产品为正品的概率可由全概率公式得到：
则由已知，
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该球取自哪号箱的可能性最大?
实际中还有下面一类问题，是“已知结果求原因”。
某人从任一箱中任意摸出一球，发现是红球,求该球是取自1号箱的概率.
1
2
3
1红4白
或者问:
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接下来我们介绍为解决这类问题而引出的
贝叶斯公式
这一类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生可能性大小。
是两两互斥的事件，且
设
另有一事件B, 它总是
之一同时发生，则
与
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该公式于1763年由贝叶斯(Bayes)给出. 它是在观察到事件B已发生的条件下，寻找导致B发生的每个原因的概率.
在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为原因的验前概率和验后概率.
P(Ai)(i=1,2,…,n)是在没有进一步信息（不知道事件B是否发生）的情况下，人们对诸事件
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当有了新的信息（知道B发生），人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的计。
贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化。
例8 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应。由长期的经验知，、、，三家产品数所占比例为2:3:5，混合在一起。
（1）从中任取一件，求此产品为正品的率；
（2）现取到一件产品为正品，问它是甲、
发生可能性大小的认识。
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乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？
解 设事件A表示“取到的产品为品”，
分别表示“产品由甲、乙、丙厂生产”
由已知
（1）由全概率公得：
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由贝叶斯公式得
由以上3个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可能性最大,由甲厂生产的可能性最小。
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例9 假定具有症状 中一个或数个的疾病为其中
S1=食欲不振 S2=胸痛
S3=呼吸急促 S4=发热
现从20000份患有疾病 的病历卡中统计得到下列数字：
疾病
人数
出现S中一个或几个症状人数
7750
7500
5250
4200
7000
3500
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试问当一个具有S中症状的病人前来要求诊断时，他患有疾病的可能性是多少？在没有别的可资依据的诊断手段情况下，诊断该病人患有这三种疾病中哪一种较合适？
解 以A表示事件“患有出现S中的某些症状”,
表示事件“患者患有疾病 ”（i=1，