切线长定理,弦切角定理,切割线定理,相交弦定理.docx

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切线长定理、弦切角定理、切割线定理、相交弦定理
以及与圆有关的比例线段
［学习目标］
切线长概念
“切线长〞是切线上
切线长是在经过圆外一点的圆的切线上, 这点的取舍.
,PCB是圆的割线,贝U '
解：zP= ZP
/ PAC = ZB,
ZPACsZPBA ,
AB _ PB
AB1 _ PB1
.芬=旬
• o
又. PA是圆的切线,PCB是圆的割线,由切割线定理,得
网=FB * PC
_ 前 _竺
. AC2 ~ PB • PC ~
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即皿心F FC,
故应填PC.
点拨：利用相似得出比例关系式后要注意变形,推出所需结论.
, P是OO外一点,PC切OO于点C, ,、B两点,如
果PA: PB = 1 : 4 , PC= 12cm , OO的半径为了10cm,那么圆心 O到AB的距离是 cm=
F
I 〕
图3
解：•.PC是OO的切线,PAB是③.的割线,且 PA : PB = 1 : 4
•• PB = 4PA
又-.PC= 12cm
PC2 - Pjd * M
由切割线定理,得E - X邱
•前二6
跆=6伽) . .
.PB = 4 X6 = 24 (cm)
•'AB = 24 — 6 = 18 (cm )
设圆心O到AB距离为了d cm ,
由勾股定理,得
故应填59.
, ,过 B点作③O的切线BC, OC交③O于点E, AE的延长线交 BC
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于点 D , (1 )求证：C® = CD * C5 .(2)假设 AB = BC= 2厘米,求 CE、CD 的长.
点悟：要证
,即要证ACEDs也BE.
证明：(1)连结BE
BC-^eo 的切线=>Zj4= Acer"
OA = OE W £A= NO由,=Z1CED =
Zoea = £ deg 4 公用角 |
J 1
IF or
n ——=一 n CE^ =CB * CD
CD CE
蜜羿线］1
as为了直径 J a—二 2 n o, m cc = = .R
BC=2 OS=1
(2) J 」
n如二估-1.
寸'……、、’「一
..书-1)U2S = S«-^)厘米.
点拨：有切线,并需寻找角的关系时常添辅助线,为了利用弦切角定理发明条件.
, ,弦
E.
求证:
证明：连结BD,
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..AE切③O于A,
zEAD = ZABD
. AE ± AB,又 AB // CD ,
. AE ± CD
..
•••zADB = 90°
. .zE= ZADB = 90 °
. CD //AB n n AD=SC
..AD=BC, 引座
, PA、PC切③O于A、C, ： AD BC= CD AB
点悟：由结论 AD BC = CD AB得 如
图6
,显然要证^ PADs ZPBA 和 APCD^ ZPBC
/PAD = ZPBA
又匕 APD = ZBPA,
. .ZPADs ZPBA
AD 尸以
L ^2* I—
：.AB AP
同理可证△ PCD sZPBC
CD _ FB
• S5=而
•.PA、PC分别切O O于A、C
. PA = PC
竺
• AB BC
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• AD BC = DC AB
,在直角三角形 ABC中,ZA = 90° ,以AB边为了直径作O O ,交斜边BC于点D,过D 点作③O的切线交AC于E.
图7
求证：BC = 2OE.
点悟：由要证结论易想到应证 OA = OB ,只须证 AE= CE.
证明：连结OD.
•. AC ± AB , AB 为了直径
.• ,又DE切③O于D
.• EA = ED, OD ± DE
. OB = OD, ZB= ZODB
在 RtMBC 中,ZC= 90 ° — B
. • zODE = 90 °
= -ZODB
. .zC= ZEDC
. ED = EC
. AE = EC
.•OE是MBC的中位线