与圆有关的证明与计算(共10页).docx

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与圆有关的证明与计算
1．如图，在Rt△OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，∴＝，∴＝，
解得R＝，
如解图，过点O作OF⊥BC于点F，
则BE＝2BF，OF∥AC，
∴∠BOF＝∠BAC，
∴sin∠BOF＝＝，∴BF＝×＝，∴BE＝2BF＝.
5. 如图，等腰△ACD内接于⊙O，其中AC＝CD，AB是⊙O的直径，连接BC，BD，过点C作BD的垂线，分别交AB、DB的延长线于点E、F.
(1)求证：CE是⊙O的切线；
(2)若AB＝5，BD＝3，求CE的长．
第5题图
(1)证明：如解图，连接CO并延长交AD于点M，
∵AC＝CD，∴＝，∴CM⊥AD，
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∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，∴AD⊥DF，
∴CM∥DF，即OC∥DF，
∵DF⊥CE，
∴OC⊥CE，
又∵OC是⊙O的半径，
∴EC是⊙O的切线；
第5题解图
(2)解：∵在Rt△ABD中，AB＝5，BD＝3，∴AD＝＝4，
∵OC∥DF，
∴∠COE＝∠ABD，
∵∠ADB＝∠OCE＝90°，
∴△ABD∽△EOC，
∴＝，即＝，
∴CE＝.
6. 如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，以AC为直径的半圆O与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E，ED的延长线与AC的延长线交于点F.
(1)求证：DE是⊙O的切线；
(2)若半圆O的半径为2，BE＝1，求CF的长．
第6题图
(1)证明：如解图，连接OD、AD，
∵AC是半圆O的直径，
∴∠ADC＝90°，
∴AD⊥BC.
又∵AB＝AC，
∴DC＝BD.
∵OC＝OA，
∴OD是△ABC的中位线，
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∴OD∥AE，
∵DE⊥AE，
∴OD⊥DE，
又∵OD为半圆O的半径，
∴DE是⊙O的切线；
第6题解图
(2)解：∵∠ODF＝∠AEF，∠F＝∠F，
∴△ODF∽△AEF，
∴＝，
∵OD为△CAB的中位线，
∴AB＝2OD＝4，
∴AE＝AB－BE＝3，
∴＝，解得OF＝4，
∴CF＝OF－OC＝2.
7. 如图，在△ABC中，AB＝BC，D是AC的中点，BE平分∠ABD交AC于点E，点O
是AB上一点，⊙O过B、E两点，交BD于点G，交AB于点F.
(1)求证：AC与⊙O相切；
(2)若BD＝6，CD＝8，求⊙O的半径．
第7题图
(1)证明：如解图，连接OE，
∵AB＝BC，D是AC中点，
∴BD⊥AC，
∵BE平分∠ABD，
∴∠1＝∠2，
∵OE＝OB，
∴∠1＝∠3，
∴∠2＝∠3，