离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换.doc

1 离散时间信号的傅里叶变换和离散傅里叶变换摘要本文主要介绍了离散时间信号的离散时间傅里叶变换及离散傅里叶变换,说明其在频域的具体表示和分析,并通过定义的方法和矩阵形式的表示来给出其具体的计算方法。同时还介绍了与离散时间傅里叶变换( DTFT )和离散傅里叶变换( DFT )相关的线性卷积与圆周卷积,并讲述它们之间的联系,从而给出了用圆周卷积计算线性卷积的方法,即用离散傅里叶变换实现线性卷积。 离散时间傅里叶变换及其逆变换离散时间傅里叶变换为离散时间序列 x[n] 的傅里叶变换,是以复指数序列{ nje ??}的序列来表示的(可对应于三角函数序列),相当于傅里叶级数的展开, 为离散时间信号和线性时不变系统提供了一种频域表示,其中?是实频率变量。时间序列 x[n] 的离散时间傅里叶变换)( ?jeX 定义如下: ??????? n njjenxeX ??][)( ( ) 通常)( ?jeX 是实变量?的复数函数同时也是周期为?2 的周期函数,并且)( ?jeX 的幅度函数和实部是?的偶函数,而其相位函数和虚部是?的奇函数。这是由于: )( )()(tan )()()( )(sin )()( )(cos )()( 22 2??????????????? jre jim jim jre j jjim jjreeX eX eXeXeX eXeX eXeX?????( ) 由于式( )中的傅里叶系数 x[n] 可以用下面给出的傅里叶积分从)( ?jeX 中算出: ??????deeXnx njj)(2 1][???( ) 2 故可以称该式为离散时间傅里叶逆变换( IDTFT ),则式( )和( )构成了序列 x[n] 的离散时间傅里叶变换对。上述定义给出了计算 DTFT 的方法, 对于大多数时间序列其 DTFT 可以用收敛的几何级数形式表示,例如序列 x[n]= n?, 此时其傅里叶变换可以写成简单的封闭形式。而一个序列 x[n] 的 DTFT 存在的充要条件是其为绝对可和序列,即: ???????nnx][ 此时对于所有?值有: ???????????????nn njjnxenxeX][][)( ?? 离散时间傅里叶变换的性质与线性卷积序列 x[n] 的离散时间傅里叶变换的一般性质包括线性、时移、频移、频域微分、调制及卷积等。其中卷积性质可表示为如下形式: )()(][][ )(][ )(][ ????jj j jeHeGnhng eHnh eGng????一般来说,序列 x[n] 和 h[n] 的卷积和可以定义为如下形式: ??????? kknhkxny][][][ ,或??????? kkhknxny][][][ 卷积和运算满足交换率、结合率以及分配率,可以对卷积和作如下解释:先将序列 h[k] 反转得到 h[-k] ,然后将 h[-k] 平移(如果 n>0 ,右移 n 个抽样周期;如果 n<0, 左移 n 个抽样周期)形成序列 h[n-k] 。然后形成乘积序列 v[k]=x[k]h[n-k] , 把 v[k] 的全部样本求和即得到卷积和 y[n] 的第 n个样本。上述过程可用下图表示: h[-k] nz? k h[n-k] x[k] v[k] y[n] 卷积和运算的