导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法.doc

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导数和数列综合问题解决技巧之构造函数法
1．设函数在R上的导函数为，且，下面的不等式在R上恒成立的是
A．要善于构造函数证明不等式，从而表达导数的工具性．
6．【2007年理】 〔22〕〔本小题总分值14分〕
设函数，其中．
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〔I〕当时，判断函数在定义域上的单调性；
〔II〕求函数的极值点；
〔III〕证明对任意的正整数，不等式都成立．
【解】〔Ⅰ〕由题意知，的定义域为，
设，其图象的对称轴为，
当时，，即在上恒成立，
当时，，
当时，函数在定义域上单调递增
〔Ⅱ〕①由〔Ⅰ〕得：当时，函数无极值点
②时，有两个一样的解，
时，， 时，，
时，函数在上无极值点
③当时，有两个不同解，，，
时，，，
即，
时，，随的变化情况如下表：
极小值
由此表可知：时，有惟一极小值点，
当时，， ，
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此时，，随的变化情况如下表：
极大值
极小值
由此表可知：时，有一个极大值和一个极小值点
；
综上所述：时，有惟一最小值点；
时，有一个极大值点和一个极小值点；
时，无极值点
〔Ⅲ〕当时，函数，
令函数，
则．
当时，，所以函数在上单调递增，
又时，恒有，即恒成立
故当时，有．
对任意正整数取，则有
所以结论成立．
7．【2008年理】 21．〔本小题总分值13分〕
函数．
〔I〕求函数的单调区间；
〔Ⅱ〕假设不等式对任意的都成立〔其中是自然对数的底数〕．
求的最大值．
解： 〔Ⅰ〕函数的定义域是，
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设，则
令则
当时， 在上为增函数，
当*＞0时，在上为减函数．
所以在处取得极大值，而，所以，
函数在上为减函数．
于是当时，
当时，
所以，当时，在上为增函数．
当时，在上为减函数．
故函数的单调递增区间为，单调递减区间为．
〔Ⅱ〕不等式等价于不等式由知，
设则
由〔Ⅰ〕知，即
所以于是在上为减函数．
故函数在上的最小值为
所以a的最大值为
1．2009潍坊文科〔22〕〔本小题总分值14分〕
设函数表示的导函数．
〔I〕求函数的单调递增区间；
〔Ⅱ〕当k为偶数时，数列{}满足，求数列{}的通项公式；
〔Ⅲ〕当k为奇数时， 设，数列的前项和为，证明不等式
对一切正整数均成立，并比拟与的大小．
解：〔Ⅰ〕函数的定义域为〔0，+∞〕，
又 ， …………1分
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当k为奇数时，，
即的单调递增区间为． …………2分
当k为偶函数时，
由，得，即的单调递增区间为，
综上所述：当k为奇数时，的单调递增区间为，
当k为偶数时，的单调递增区间为 …………4分
〔Ⅱ〕当k为偶数时，由〔Ⅰ〕知
所以
根据题设条件有
∴{}是以2为公比的等比数列，
∴ ………………………………8分
〔Ⅲ〕由〔Ⅰ〕知，当k为奇数时，
由要证两边取对数，即证…………………10分
事实上：设则
因此得不等式…………………………………………①
构造函数下面证明在上恒大于0．
∴在上单调递增，
即
∴ ∴
即成立． ………………………………………………………12分
由
得
即
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当时，……………………………………………14分
2．省日照市2009届高三模拟考试数学理科试题〔22〕〔本小题总分值14分〕
，函数．
〔Ⅰ〕试问在定义域上能否是单调函数？请说明理由；
〔Ⅱ〕假设在区间 上是单调递增函数，试数的取值围；
〔Ⅲ〕当 时，设数列 的前项和为，求证：
解：
〔Ⅰ〕的定义域为，，由得． ……2