每周一讲--第7讲--可导、可微与连续的关系.doc

可导、可微以及连续之间的关系●讲义内容: 设函数( ) f x 在0x 的邻域内有定义, 如果( ) f x 在0x 处可导, 那么( ) f x 在0x 处必然连续.★讲解: 函数?? f x 在0x 处可导,即存在???? 000 lim x x f x f x x x ???,由于 0 x x ?时,分母 00 x x ? ?,故分子???? 0 lim 0 x x f x f x ?? ?? ?? ?,即函数?? f x 在0x 处连续。但是,这个命题的逆命题不成立,如?? f x x ?在0x?点处是连续但不可导的。另外,我们也可以从图形的角度区别可导与连续, 可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线, 而连续是指函数的图像不间断。●讲义内容: 设函数( ) f x 在0x 的邻域内有定义, 那么函数( ) f x 在0x 处可微与函数( ) f x 在 0x 处可导是等价的, 也就是说: 可微必可导, 可导必可微. 进一步地, 我们还可以得到( ) f x 在0x 处的微分??'0 dy f x x ? ?. ★讲解: 若函数?? f x 在0x 处可微,则??, 0 y A x o x x ? ??????。根据导数的定义, ???? 0 0 0 lim lim x x A x o x y f x A x x ?? ??? ????? ? ?? ?,故可微必可导。反之,若函数?? f x 在0x 处可导,则 0 lim xyx ????存在,不妨记 0 lim xyAx ?????,得 0 lim 0 xyAx ???? ?? ?? ??? ?, 即 0 lim 0 x y A x x ??? ??? ??? ??? ?, 由高阶无穷小的定义可知: ??, 0 y A x o x x ? ??????,