每周讲讲可导可微与连续的关系.doc

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可导、可微以及连续之间的关系
●讲义内容：设函数 f ( x)

在

x
0

的邻域内有定义，如果 f ( x)

在

x
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可导、可微以及连续之间的关系
●讲义内容：设函数 f ( x)

在

x
0

的邻域内有定义，如果 f ( x)

在

x
0

处可导，那么 f ( x)

在

x
0

处
必然连续.
★讲解：函数

f (x)

在

x
0

处可导，即存在

lim
x ® x

f (x)-f(x)
0
x -x
0

，由于

x ® x
0

时，分母
x -x ® 0
0
，故分子 lim éf (x)-f(x)ù=0
0
x ® x

，即函数
f (x)

在

x
0

处连续。但是，这个命
题的逆命题不成立，如
f (x)=x在x =0 点处是连续但不可导的。另外，我们也可以从图
形的角度区别可导与连续，可导指的是函数的图像是一条光滑的曲线，而连续是指函数的图 像不间断。
●讲义内容：设函数 f ( x)

在

x
0

的邻域内有定义，那么函数 f ( x)

在

x
0

处可微与函数 f ( x )

在
x
0

处可导是等价的，也就是说：可微必可导，，我们还可以得到

f ( x)
在

x
0

处的微分

dy = f

'

(x)Dx 0

.
★讲解：若函数

f (x)

在

x
0

处可微，则

Dy =ADx +o (Dx),Dx®0

。
根据导数的定义，

f

¢

(x)=lim 0
Dx® 0

Dy
Dx

=lim
Dx® 0

ADx +o (Dx) Dx

=A

，故可微必可导。
反之，若函数

f (x)在x处可导，则
0

lim
Dx® 0

Dy
Dx

Dy
存在，不妨记 lim =A ，得
Dx® 0 Dx
æDy ö æDy- AD lim -A =0 ， 即 l i m
Dx® 0 èDx ø Dx® 0 è Dx

öx
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