维尔斯特拉斯函数.doc

维尔斯特拉斯函数( Weierstrass function ) 维尔斯特拉斯函数是数学上的病态实例,它是被定义在实轴上的实值函数。这个函数具有处处连续但处处不可微的性质,并以其发现者 Karl Weierstrass 的名字命名。在数学史上,维尔斯特拉斯函数非常重要。传统观念认为,除了孤立的点之外,任何一个连续的函数都可导。而维尔斯特拉斯函数成为了第一个正式发表的向这种观念挑战的实例。传统的直观认为,连续函数一定有一个导函数,或者它的不可导的点集合在某种意义上,应当很小。依照维尔斯特拉斯的论文所述,早期的数学家包扩高斯都假定这是对的。这可能是因为很难画出或展现出那些拥有不可导的点集合,这些集合不同于有限点集合。然而维尔斯特拉斯却构造出了这样的函数。在维尔斯特拉斯的原始论文中,这个函数被定义为: 这里 0<a<1,b是奇整数,且这个构造过程,连同处处不可导的证明,发表在维尔斯特拉斯的论文(“K?nigliche Akademie der Wissenschaften ”onJuly 18, 1872. )中。上图是一个维尔斯特拉斯函数图,其区间在[-2,2] 之间。这个函数具有分形性质: 任何局部的放大(红点)都与整体相似。维尔斯特拉斯函数可能被描述为最早的分形,尽管这个数学名词直到很晚之后才被使用。这个函数在每一个级别上,都具有细节。因此放大每一个弯曲, 都不能显示出图象越来越趋近于直线。不管多么接近的两点,函数都不是单调的。《分形集合的几何学》一书中,评说经典的维尔斯特拉斯函数的毫斯道夫维数被限定在之内,(这里的 a和b是在前面构造过程中定义的常数),这一限定一般认为是正确的、有价值的,但它并没有被严格证明。