维尔斯特拉斯样稿.doc

假如牛顿和莱布尼兹想到过连续函数不一定有导数 (而这却是通常情形)，那么微积分就决不会被发明出来。
——皮卡
分析算术化过程开始了
19世纪数学，发生了三件意义深远大事。
在30年代，罗巴切夫斯基和鲍耶摆脱欧几里得几何束缚，创
造了和它一样相容几何——非欧几何。欧几里得几何一些公理
在那里不再得到满足。它打破了欧几里得几何是先验、惟一几
何真理神话，为更多新几何创建打开大门。
几乎同时，代数学也发生了类似革命。以伽罗瓦、哈密顿、
格拉斯曼和凯莱为代表数学家们创建了新代数。一般代数里
一些公理在那里不再适用。它为群、环、域、布尔代数、约现代
数和李代数等抽象代数创建开辟道路。第三个含有重大意义
事件是分析算术化。
微积分自牛顿、莱布尼兹创建以来，取得空前发展。不过，
它很多概念还是含混不清，它基础依旧微弱。达朗贝尔首先
觉察到需要有一个极限理论来消除混乱；拉格朗日则在《解析函数
论》中作了有益尝试；高斯比同时代数学家更早排除直观，对严
密性提出更高要求；最终是柯西把问题大大推进。她极限理论
对分析发展和级数敛散性判别全部是必不可少。不过，使数学
家最终下决心摒弃凭直观推理而寻求更可靠基础，是因为德国数
学家卡尔·维尔斯特拉斯在1874年发表一个和直观相悖惊人发
现：一条连续曲线却四处没有切线!
一个艰巨而漫长分析算术化过程开始了。
早年波折
大家总认为，一个人要想在数学上取得成就，成为第一流数
学家，就必需从小受到良好数学训练，而且不能把大量时间和
精力花在像中等教育这一类和数学发明无关事务上。不过，被誉
为“现代分析之父”德国伟大数学家卡尔·维尔斯特拉斯能够说
是个例外。
卡尔·维尔斯特拉斯于1810月31日诞生于德国西北部威
斯特伐利亚区奥斯坦菲尔德。父亲威廉·维尔斯特拉斯是受法国
雇佣海关职员，因为当初拿破仑法国正统治着德国西部和大半
个欧洲呢。威廉正直坦率，有一定文化素养，一度曾经当过老师。
不过，和高斯父亲一样，威廉在家里十分严厉而且专断。几乎一
直到卡尔40岁，父亲还在不顾儿子才能和爱好，鲁莽地干预她
事务。幸好卡尔在意志和体格上全部异常坚强。父亲干扰使她事
业和生活走了一段曲折弯路，不过终究没有挡住她登上光荣顶
峰。在卡尔后面，威廉和妻子肖朵拉·福斯特又生了彼得和两个女
儿：克拉拉和爱丽丝。爱丽丝出世很快，肖朵拉不幸病故。母亲
为人鲜为人知，只知道她对自己婚姻似乎不大满意。父亲于第二
年再娶。继母是个经典德国家庭妇女，对儿女智力发展说不上
有什么影响。维尔斯特拉斯弟兄姐妹四人亲密无间，和睦相处，并
且全部没有结婚。可怜彼得一度有过这种念头，可是很快被父亲
厉声斥责所吓退。
卡尔降生很快，维尔斯特拉斯全家搬到威斯特伐利亚韦斯特
康登村。父亲在那里任制盐厂海关官员。韦斯特康登是个默默无
闻小村。一条坑洼不平道路，两旁疏疏落落居住着二三十户人
家，连一所小学也没有。小村今天在德国以至全世界出了名，只因
为维尔斯特拉斯在这里度过她青少年时代，而且她处女作也是
在这里完成。14岁，卡尔进周围帕德博恩城一所天主教预科学
校学习。在学校里，她如鱼得水，自由自在。她和善性格和过人
智慧深得老师们喜爱。学习要求几门功课，她毫不费力，而
且每十二个月稳拿7项以上奖赏。通常首先是德语，其次是拉丁语、希腊
语和数学。所以，在笛卡儿、费马等一大串数学家后面又加上了
维尔斯特拉斯名字，她们不不过数学巨匠，而且是语言学大
师。只有书法一项，维尔斯特拉斯没有获过奖。可是，含有讽刺意
味是，命运却安排她要在以后相当长时间里，教那些刚刚脱离
母亲怀抱孩童们写字!
卡尔学习出色，在实际工作中也身手不凡。从15岁开始，她就
一边学习，一边在一位经营火腿黄油女商人那里当会计。她把账
目管理得井井有条，深得女主人赏识，以致她口袋里总不缺零
花钱。 ’
可是，这一连串成功给卡尔带来一个意想不到结果。从预
科学校一毕业，不容卡尔有半句分辩，父亲就把她送到波恩大学去
学法律。威廉理由很简单：卡尔能赢得这么多奖状，又能把账目
管理得有条有理，表明她聪慧过人而且是出色簿记员。什么是簿
记员顶峰?当然是在普鲁士民政部当一名文官。要出任文官，不学法律怎么行呢?
卡尔没有欧拉幸运。欧拉在人生十字路口有伯努利一家出来
为她说情，使父亲最终打消要她从事神职员作念头。卡尔孤掌难
鸣。她不能指望恭顺彼得和两个神经脆弱妹妹给她帮什么忙。