正余弦定理的多种证明方法.doc

利用向量统一正、余弦定理的证明正、余弦定理是解三角形强有力的工具,关于这两个定理有好几种不同的证明方法,[1]人教版中等职业教育国家规划教材《数学》( 提高版) 是用向量的数量积( 内积) 给出证明的, 如是在证明正弦定理时用到: 作辅助单位向量并对向量的等式作同一向量的数量积, 这种构思方法过于独特, 不易被初学者接受。本文通过三角函数的定义, 利用向量相等和向量的模统一正、余弦定理的证明, 方法较为简单。从本文的证明中又一次显示数学中“数”与“形”的完美结合。定理:在△ ABC 中, AB=c,AC=b,BC=a, 则(1) (正弦定理) == ; (2) (余弦定理) c2=a2+b2-2abcos C, b2=a2+c2-os B, a2=b2+c2-os A。证明: 建立如下图所示的直角坐标系,则 A= (0,0)、 B= ( c,0 ), 又由任意角三角函数的定义可得: C= ( bcos A,bsin A) ,以 AB 、 BC 为邻边作平行四边形 ′,则∠ BAC ′=π-∠B, ∴C′(acos( π-B),asin( π-B)) =C ′( -acos B,asin B)。根据向量的运算: =( -acos B,asin B), =-= ( bcos A-c,bsin A),(1 )由= :得 asin B=bsin A,即=。同理可得: =。∴== 。(2) 由=( b-cos A-c ) 2+(bsin A)2=b2+c2-os A, 又||=a, ∴ a2=b2+c2-os A。同理: c2=a2+b2-2abcos C; b2=a2+c2-os B。