数学建模 排队论.ppt

数学建模 排队论
第1页，共46页，编辑于2022年，星期六
排 队 论
随机服务系统
M/M/1 模型
M/M/1/k 模型
M/M/c 模型
第2页，共46页，编辑于2022年，星期六
随机服务系统
问题 忙的服务台个数
稳定状态下平均意义的指标
第18页，共46页，编辑于2022年，星期六
系 统 状 态
系统人数：某时刻系统内顾客的数量。
N(t)=在时间 t 系统中顾客的数量。
Pn(t)=在时间t,排队系统中恰好有n个顾客的概率。
接受服务的人数
cn(t)=工作的服务台数目。
排队长度：等待服务的顾客的数量。
N(t)- cn(t)
第19页，共46页，编辑于2022年，星期六
稳定状态
系统人数：稳定状态下系统内顾客的数量。
N=系统中顾客的数量。
Pn=排队系统中恰好有n个顾客的概率。
接受服务的人数
cn=工作的服务台数目。
排队长度：等待服务的顾客的数量。
N- cn
第20页，共46页，编辑于2022年，星期六
平均 参 数
平均等待时间
平均逗留时间
平均队长：
平均等待队长：
第21页，共46页，编辑于2022年，星期六
常用记号
n = 系统有n个顾客时的平均到达率（单位时间平均到达的顾客人数即是平均到达率）
n = 系统有n个顾客时的平均到达率
 = 对任何n都是常数的平均到达率.
= 对任何n都是常数的平均到达率.
1/ = 期望到达间隔时间
1/ = 期望服务时间
 = 服务强度， 或称使用因子, /(s)
第22页，共46页，编辑于2022年，星期六
M/M/1// 模型
问题设定
平稳条件下的概率分布
基本参数
应用实例
第23页，共46页，编辑于2022年，星期六
问题设定
到达是最简单流
服务时间是负指数分布
一个服务台
顾客来源为无穷
系统容量为无穷
第24页，共46页，编辑于2022年，星期六
概率分布
生灭过程: n = , n= 
第25页，共46页，编辑于2022年，星期六
若
第26页，共46页，编辑于2022年，星期六
基本参数
平均队长—系统平均的人数
平均等待队长—系统平均等待的人数
第27页，共46页，编辑于2022年，星期六
基本参数
平均等待时间—等待前面人员完成服务的时间
平均滞留时间—等待时间加上接受服务时间
工作强度—平均忙的概率
第28页，共46页，编辑于2022年，星期六
Little公式
第29页，共46页，编辑于2022年，星期六
设备选择问题
在某工地卸货台装卸设备的设计方案种，有三个方案可供选择，分别记为甲乙丙。每个方案的有关费用见下表。
货车到达为最简单流，平均每天（按10 小时计算）到达15车，平均每车装货500袋，卸货时间服从负指数分布。每辆车停留1小时的损失为10元。
问应如何选择使得总费用最小？
方案
固定费用/天
可变费用/天
装卸袋数/小时
甲
60
100
1000
乙
130
150
2000
丙
250
200
6000
第30页，共46页，编辑于2022年，星期六
问题分析
分别算出每种方案的总费用，然后选出总费用最小的方案。
总费用=固定费用+可变费用+停留费用
可变费用=每天可变费用*平均工作时间
停留费用=每车平均停留时间*车数*单位停留费用
第31页，共46页，编辑于2022年，星期六
=15/10
=卸货量/500
=停留时间*15*10
=1-P0
=天可变费用*忙的概率
第32页，共46页，编辑于2022年，星期六
第33页，共46页，编辑于2022年，星期六
M/M/1/k/ 模型
问题设定
平稳条件下的概率分布
基本参数
第34页，共46页，编辑于2022年，星期六
问 题 设 定
到达是最简单流
服务时间是负指数分布
一个服务台
顾客来源为无穷
系统容量为N
第35页，共46页，编辑于2022年，星期六
概率分布
生灭过程: n = , n= ,n=0,1,2,…,k
第36页，共46页，编辑于2022年，星期六
第37页，共46页，编辑于2022年，星期六
基本参数
平均队长—系统平均的人数
平均等待队长—系统平均等待的人数
第38页，共46页，编辑于2022年，星期六
基本参数
平均等待时间—等待前面人员完成服务的时间
平均滞留时间—等待