函数的单调性.doc

函数的单调性和最值
1．以下函数中，在区间（0，＋∞)上为增函数的是(　　）
A．y＝ln（x＋2）　　　　　　B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
解析：选A　选项A的函数y＝ln（x＋2)的增区A. B。
C．(0，＋∞) D。
解析：选D　令g（x)＝2x2＋x>0，得x>0或x〈－，所以函数f（x）的定义域为∪(0，＋∞)．易知函数g(x）在上单调递增，所以在
上，0〈g(x)〈（x)〉0恒成立，所以0<a〈1，故函数y＝logax在其定义域上为减函数．而g（x）＝2x2＋x在上是单调递减的，所以f（x）的单调递增区间为。
7．使函数y＝和y＝log3(x－2）在（3,＋∞）上具有一样的单调性，实数k的取值范围是________．
解析：由于y＝log3(x－2）的定义域为(2，＋∞），且为增函数．故假设使函数y＝＝＝2＋在（3，＋∞）上是增函数，那么有4＋k＜0，得k＜－4.
答案：(－∞，－4)
8．（2021·湖州模拟）对于任意实数a，b，定义min｛a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x）＝log2x,那么函数h(x）＝min{f（x），g(x)｝的最大值是________．
解析：依题意,h(x）＝
当0＜x≤2时，h(x)＝log2x是增函数;当x＞2时,h(x）＝3－x是减函数,那么h(x)在x＝2时，获得最大值h（2)＝1.
答案：1
9．函数f（x)的定义域为A,假设x1，x2∈A且f(x1)＝f（x2)时总有x1＝x2，那么称f（x）为单函数．例如：函数f（x)＝2x＋1（x∈R）是单函数．
给出以下命题：
①函数f(x）＝x2（x∈R)是单函数；
②指数函数f(x）＝2x（x∈R)是单函数；
③假设f(x）为单函数,x1，x2∈A且x1≠x2，那么f（x1）≠f(x2);
④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数．
其中真命题是________（写出所有真命题的序号）．
解析：根据单函数的定义,函数是单函数等价于这个函数在其定义域内是单调的,故命题②④是真命题，①是假命题；根据一个命题和其逆否命题等价可知，命题③是真命题．
答案:②③④
10．函数f(x）＝在区间(－2，＋∞）上是递增的，务实数a的取值范围．
解:f(x）＝＝＝＋a.
任取x1，x2∈(－2，＋∞)，且x1＜x2，
那么f(x1)－f（x2）＝－＝。
∵函数f(x)＝在区间（－2，＋∞)上是递增的,
∴f（x1）－f(x2）＜0.
∵x2－x1＞0，x1＋2＞0，x2＋2＞0,
∴1－2a＜0，a＞，
即实数a的取值范围是。
11．（2021·嘉兴模拟）函数f(x)＝－(a〉0，x〉0)．
（1)求证：f(x）在(0,＋∞）上是单调递增函数；
(2）假设f(x)在上的值域是,求a的值．
解：(1）证明：设x2〉x1〉0,那么x2－x1〉0，x1x2>0,
∵f（x2）－f(x1）＝－＝
－＝>0,
∴f（x2)〉f（x1)．∴f（x）在（0，＋∞)上是单调递增函数．
（2)∵f（x）在上的值域是，又f（x)在上单调递增，
∴f＝，f（2）＝2.∴a＝.
12．函数f（x)的定义域是（0，＋∞）