椭圆面积的证明.doc

第1页椭圆面积公式的推导韩贞焱(贵州省遵义四中 563000 ) 椭圆面积公式 S=? ab (其中 a、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长) . 在中学数学教材中,仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过,直到高等数学的定积分学习时才给出定积分推导. 现用初等数学方法作两种推导,供读者参考. 定理 1 . 若夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于两条平行直线的任一直线所截,如果截得的两条线段长的比例总相等,那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比. 注: 此定理相当于祖暅原理的推论,故证明从略. 方法一: 设椭圆 C的方程为 1 2 22 2??b ya x (a>b>0),辅助圆 C '的方程为x 2+y 2=b 2,且一直线 L:y=m(bmb???)与两曲线相交,交点分别为 M(x 1,m)、N(x 2,m)及 P(x 3,m)、Q(x 4,m),如图 1. 由????????1 2 22 2b ya x my 解得 x 21、= 22mbb a??, 此时, 21xx?= 222mbb a?; 由?????? 222byx my 解得 x 4,3=± 22mb?,(图 1) 第2页此时, 43xx?=2 22mb?. 01 、当 22mb?,即b=|m| 时,交点为( 0,b)或( 0,-b); 02 、当 22mb?,即 b≠|m|时,有 b axx xx??? 43 21. 显然 01 是一种特殊情况,即直线 L 与两曲线 C、C ' 交于一点,此时与求椭圆 C的面积无影响,故可忽略;在情况 02 下,即椭圆 C的弦长|MN| 与圆C '的弦长|PQ| 比恒为定值 b a 时,则当设椭圆C与圆C '的面积分别为S、 S ' 时,由定理 1得'S S =b a ,又圆 C ' 的面积 S '=πb 2 ,故有 S=b a S '=b a π b 2=πab. 所以椭圆 C 的面积公式为 S=πab (其中 a、b 分别是椭圆的长半轴、短半轴的长) .注: 此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形,若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例,当已知线段长的比值时,则可利用定理 1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积. 定理 2 .若一平面图形 M '是另一凸平面图形 M的射影,且凸平面图形M 与射影平面图形 M ' 所成角为?, 则射影平面图形 M ' 的面积与凸平面图形 M的面积比为 cos?. 证明: 设平面图形 M ' 是平面图形 M 0 当平面图形 M 是凸第3页曲边行时,如图 2,将平面图形 M的边缘进行 n +1等分,设分点分别为 A 1、A 2、A 3、…、A i、A 1?i、…、A n、A 1?n,它们分别在平面图形 M '上的射影为 A '1、A '2 …、A 'i、A '1?i、…、A 'n、A '1?n,则分别连结点 A 1、A 2、A 3、…、A i、A 1?i、…、A n、A 1?n,然后再将点 A 1分别与点 A 2、A 3、…、A i、A 1?i、…、A n、A 1?n(图2) 连结得△A 1A 2A 3、△A 1A 3A 4、…△A 1A iA 1?i、…、△A 1A nA 1? M '上的射影分别是对应的△A '1A '2A '3、△A