椭圆面积的证明.doc

椭圆面积公式的推导
韩贞焱(贵州省遵义四中 563000)
椭圆面积公式S=ab(其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长).在中学数学教材中,仅在高中《平面解析几何》的习题中作为已知公式给出过,,供读者参考.
定理1. 若夹在两条平行直线间的两个平面图形,被平行于两条平行直线的任一直线所截,如果截得的两条线段长的比例总相等,那么这两个平面图形的面积比等于截得线段长的比.
注:此定理相当于祖暅原理的推论,故证明从略.
方法一:设椭圆C的方程为(a>b>0),辅助圆C的方程为x2+y2=b2,且一直线L:y = m()与两曲线相交,交点分别为M(x1 , m)、 N(x2 , m)及P(x3 , m)、Q(x, m),如图1.
由解得 x=,
此时, =;
由解得x=±, (图1)
此时, =2.
、当,即b=|m|时,交点为(0,b)或(0,-b);
、当,即b≠|m|时,有.
显然是一种特殊情况,即直线L与两曲线C、C 交于一点,此时与求椭圆C的面积无影响,故可忽略;在情况下,即椭圆C的弦长|MN|与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时,则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、S时,由定理1得=,又圆C的面积S=πb,故有 S =S=πb=πab .
所以椭圆C的面积公式为S =πab (其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长).
注:此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形,若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例,当已知线段长的比值时,则可利用定理1由一已知平面图形面积求另一平面图形面积.
,且凸平面图形M与射影平面图形M所成角为, 则射影平面图形M的面积与凸平面图形M的面积比为cos.
证明:,如图2,将平面图形M的边缘进行
n+1等分, 设分点分别为A、A、A、…、A、A、
…、A 、A,它们分别在平
面图形M上的射影为A、A
…、A、A、…、A、A ,
则分别连结点A、A、A、…
、A、A、…、A 、A,然
后再将点A分别与点 A、A、
…、A、A、…、A 、A (图2)
连结得△AAA、△AAA、…△AAA、…、△ 上的射影分别是对应的△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 由于平面M与平面M所成角为,则△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 所在平面与△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 所在平面所成角均为,现分别记△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA 及△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AA A 的面积为S 、S、…、S、…、S及 S、S、…、S、…、S. 则有S= Scon 、S = S con、…、 S= Scon、…、S = Scos .
当分点无限增加时, 则S 、S、…、S、…、S 及S、S、…、S、…、S 的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形M
的面积, 故有
S=( S +S