椭圆面积的证明.doc

韩贞焱(贵州省遵义四中563000)椭圆面积公式S=ab(其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长).在中学数学教材中,仅在高中《平面解析几何》的行直线的任一直线所截,如果截得的两条线段长的比例总相等,:此定理相当于祖暅原理的推论,:设椭圆C的方程为(a>b>0),辅助圆C的方程为x2+y2=b2,且一直线L:y=m()与两曲线相交,交点分别为M(x1,m)、N(x2,m)及P(x3,m)、Q(x,m),=,此时,=;由解得x=±,(图1)此时,=2.、当,即b=|m|时,交点为(0,b)或(0,-b);、当,即b≠|m|时,,即直线L与两曲线C、C交于一点,此时与求椭圆C的面积无影响,故可忽略;在情况下,即椭圆C的弦长|MN|与圆C的弦长|PQ|比恒为定值时,则当设椭圆C与圆C的面积分别为S、S时,由定理1得=,又圆C的面积S=πb,故有S=S=πb==πab(其中a、b分别是椭圆的长半轴、短半轴的长).注:此法适应于类似夹在两条平行直线间的平面图形,若被平行于两平行直线的任一条直线所截得的线段长成相等比例,当已知线段长的比值时,,且凸平面图形M与射影平面图形M所成角为,:,如图2,将平面图形M的边缘进行n+1等分,设分点分别为A、A、A、…、A、A、…、A、A,它们分别在平面图形M上的射影为A、A…、A、A、…、A、A,则分别连结点A、A、A、…、A、A、…、A、A,然后再将点A分别与点A、A、…、A、A、…、A、A(图2)连结得△AAA、△AAA、…△AAA、…、△△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA由于平面M与平面M所成角为,则△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA所在平面与△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA所在平面所成角均为,现分别记△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA及△AAA、△AAA、…、△AAA、…、△AAA的面积为S、S、…、S、…、S及S、S、…、S、…、=Scon、S=Scon、…、S=Scon、…、S=,则S、S、…、S、…、S及S、S、…、S、…、S的和就分别无限地接近凸曲边形M的面积和射影平面图形M的面积,故有S=(S+S+…+S+…+S)=(Scos+Scos+…S+cos+…+Scos)=(S+S+…+S+…+S)cos=,则在凸多边形M内取适当的点连结出不重叠的三角形,仿上易证,:我们知道,在一圆柱上作一斜截面可得一椭圆面,=2b,斜截面椭圆的长轴长AB=2a,椭圆面M与圆柱底面M所成角为,将椭圆周n+1