第一章 矩阵的相似变换.ppt

矩阵理论成都信息工程学院李胜坤 特征值与特征向量第一章矩阵的相似变换定义设,如果存在和非零向量, 使,则叫做的特征值, 叫做的属于特征值的特征向量。 nnCA ?? C?? nCx? x Ax??? A xA ? det( n ?由 I-A)=0 求特征值,即其个根。 A ii??解( I-A)x=0 ,其非零解向量即为的对应于的特征向量。(3)属于不同特征值的特征向量是线性无关的。矩阵的特征值与特征向量的性质: (2)特征值的几何重数不大于它的代数重数。(1)一个特征向量不能属于不同的特征值。(4)设是的个互不同的特征值, 的几何重数为,是对应于的个线性无关的特征向量,则的所有这些特征向量仍然是线性无关的。 1 2 , , , r ? ? ? LA r i? iq 1 2 , , , i i i iq ? ? ? L i? iq 12 11 12 1 21 22 2 1 2 , , , ; , , , ; , , , r qq r r rq ? ? ?? ? ?? ? ? LLLL (5)设阶方阵的特征值为, 则( ) ij n n A a ?? 1 2 , , , n ? ? ? L 11 22 1 2 , nn n a a a ? ? ?? ?????? L L 1 2 det( ) , nA ?? ??L 1 2 ( ) , , , . H ji n n n A a ? ? ???L 特征值为 n (6) , tr AB tr BA n n A C ??设,B则()=(). 相似对角化定义:设,若存在使得则称相似矩阵的性质: 相似矩阵有相同的特征多项式,有相同的特征值,有相同的行列式值,有相同的秩, 有相同的迹,有相同的谱。定义:设,如果相似于一个对角矩阵,则称可对角化。 A n n A C ??,B n n n P C ?? 1 P AP ?=B, A B A与B相似,记为, : P称为相似变换阵。 n n A C ??A 定理:阶矩阵可以对角化的充分必要条件是每一个特征值的代数重数等于其几何重数。例1判断矩阵是否可以对角化? nA 3 1 1 2 0 1 1 1 2 A ?? ?? ??? ??? ?? ?定理:阶矩阵可以对角化的充分必要条件是有个线性无关的特征向量。 nAnA于是的特征值为(二重) 由于是单的特征值,它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑 2 3 1 1 2 1 1 1 2 ( 1)( 2) I A ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ?? 1 2 1, 2 ? ?? ? 11?? 22??解:先求出的特征值 A于是从而不相似对角矩阵, 不能对角化。 2 1 1 1 1 1 1 2 2 1 0 0 1 1 1 0 0 0 0 I A ?? ? ?? ???? ???? ????? ????? ???? ??? 2 2 2 ( ) 2, ( ) 1 R I A q n R I A ? ?? ? ???? Jordan 标准形介绍 i 12 1 J r Jordan 1 Jordan JJ J Jordan i i iiii r r sJ ????? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ?? ?? ??? ?? ?? ? OOO 定义:形如的矩阵