第一章 矩阵的相似变换.ppt

矩阵理论
成都信息工程学院

李胜坤
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特征值与特征向量
第一章 矩阵的相似变换
定义 设 ，如果存在 和非零向量 ，使 ，则 叫做 的特征值， 叫做 的属于
特征值 的特征向量。
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（3）属于不同特征值的特征向量是线性无关的。
矩阵的特征值与特征向量的性质：
（2）特征值的几何重数不大于它的代数重数。
（1）一个特征向量不能属于不同的特征值。
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（4） 设 是 的 个互不同的特征值， 的几何重数为 ， 是对应于 的 个线性无关的特征向量，则的所有这些特征向量
仍然是线性无关的。
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（5）设 阶方阵 的特征值为 ，
则
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相似对角化
定义：设 ，若存在 使得
则称
相似矩阵的性质：
相似矩阵有相同的特征多项式，有相同的特征值，有相同的行列式值，有相同的秩，有相同的迹，有相同的谱。
定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要
条件是 有 个线性无关的特征向量。
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定理： 阶矩阵 可以对角化的充分必要条件是
每一个特征值的代数重数等于其几何重数。
例1 判断矩阵
是否可以对角化？
解： 先求出 的特征值
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于是的特征值为 （二重）
由于 是单的特征值，它一定对应一个线性无关的特征向量。下面我们考虑
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于是
从而不相似对角矩阵。
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Jordan标准形介绍
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