基变换和坐标变换及相似矩阵.ppt

基变换和坐标变换及相似矩阵
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复习1:将一个和式写为矩阵乘积的书写法
设V为数域　P上的 n 维线性空间，　　　　　 为
V 中的一组向量， 　　　，若
则记作
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复习1:将一个和式写为矩阵乘积的书写法
设V为数域　P上的 n 维线性空间，　　　　　 为
V 中的一组向量， 　　　，若
则记作
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在形式书写法下有下列运算规律
1).
若
线性无关，则
注：
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2).　　　　　　 ；　　　　　为V中的两组向量，
矩阵　 　　　　，则:
；
；
；
若
线性无关，则
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复习2：线性变换在给定基下的矩阵
即:
则称A为线性变换T在基
下的矩阵.
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则记作
设V为数域 P 上 n 维线性空间， 　　；
为V中的两组向量，若
第一节 线性空间的基变换与坐标变换
基变换公式
一、线性空间的基变换
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注意：
证明：设矩阵　　　　　为P上任一可逆矩阵，
任取V的一组基
于是有，
由A可逆，有
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即，　　　　 也可由　　　　　 线性表出.
故　　　　　 线性无关，从而也为V的一组基.
并且A就是 　　　　　　　　　　的过渡矩阵.
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分析：
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4).若由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为A,
由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为B，则
由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为AB.
若
则有，
分析：
3).若由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为A,
则由基 　　　　　　　　　　　 过渡矩阵为A-1.
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二、坐标变换
:V为数域P上n维线性空间
为V中的两组基，且
设　　 且ξ在基　　　　　 与基
下的坐标分别为　　　　　　与　　　　　　 ，
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即，
与
则
或
②
称①或②为向量ξ在基变换下的坐标变换公式．
①
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，求由基
到基
过渡矩阵．其中
解：∵
的过渡矩阵及由基
到基
的
并求向量 在基 下的坐标.
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而，
∴
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到基
由基
的过渡矩阵为
故，由基
到基
的过渡矩阵为
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在基　　　　　下的坐标就是
所以　 在基　　　　　 下的坐标为
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设　在基　　　　　下的坐标为　　　　　　，则
所以　在基　　　　　下的坐标为
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例2　在P4中，求由基
到基
的过渡矩阵，其中
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解:设
则有
或
，
又
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从而有
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第二节 基变换对线性变换矩阵的影响
引入分析：
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注意：
2).相似