塞瓦定理.docx

塞瓦定理
【定理内容】
设 O 是
ABC 内任意一点， AO 、 BO 、 CO 分别交对边于 D 、 E 、 F ，
则 BD
CE
AF
1.
A
DC
EA
FB
F E
塞瓦定理
【定理内容】
设 O 是
ABC 内任意一点， AO 、 BO 、 CO 分别交对边于 D 、 E 、 F ，
则 BD
CE
AF
1.
A
DC
EA
FB
F E
O
B D C
[ 评] 等价叙述：
ABC的三边 BC、CA、 AB上有点 D、E、F ，则 AD、
BE 、 CF 三线共点的充要条件是
BD
CE
AF
，这点称为三角形的塞瓦点。
DC
EA
1
FB
【背景简介】
【证法欣赏】
A
证法 1：（利用梅涅劳斯定理证明）
ADC 被直线 BOE 所截，
∴ CB
DO
AE
1
①
F
E
BD
OA
EC
同理， BC
DO
AF
1 ②
O
CD
OA
FB
②÷①得： BD
CE
AF
1 .
D
C
DC
EA
FB
B
【证法欣赏】
A
证法 2：（利用面积关系证明）
∵BD S DC S

ABD
ACD

S
S

BOD
COD

F E
∴由等比性质得
BD S ABD
DC S ACD

S
S

BOD
COD

S
S

O
AOB ③
AOC
B D C
同理：

CE S
EA S

BOC
BOA

④，

AF S
FB S

AOC ⑤，
BOC
③×④×⑤得： BD CE AF 1.
DC EA FB
【证法欣赏】
证法 3：（利用平行线分线段成比例证明）
过A作AM//BC交BE、CF延长线于 M 、N，
AM //BC，
N A M
∴ AF
AN， ⑥
FB
BC
CE
BC
EA
，⑦
AM

F

E
AN
AO
AM
⑧，
DC
OD
BD
由⑧得： BD
AM
⑨
DC
AN
⑥×⑦×⑨得： BD
CE
AF
1 .
DC
EA
FB
【逆定理】