圆柱形电容器和双线电容器研究.doc

非平行板电容器的电容和电场的计算问题及椭圆柱形电容器计算问题张文伟( 池州学院,安徽省, 池州, 247100 ) 摘要本文采用保角变换的方法计算非平行板电容器的电容和场强,本方法与以往所见的方法不同,它简洁、严谨。关键词: 非平行板电容器;椭圆柱形电容器;保角变换平行板电容器是一种理想模型, 因此研究非平行板电容器的电容及场强分布具有更普遍的意义. 文献[1,2] 讨论了忽略边缘效应时非平行板电容器的问题, 它们各有特点, 但也各有不足之处.[1] 用定义计算场强和电容, 在正式计算前须对电场的分布进行分析和假设. 本文采用保角变换, 把非平行板电容器转换成平行板电容器, 然后应用平行板电容器的电容公式计算其电容并进一步计算出电场. 设非平行板电容器的两块极板长、宽分别为 l和 L, 其截面如图 1 所示. 极板 AB、 CD延伸后相交于 O点, 交角为Η, 极板两端到 O 点的距离分别为 R1和 R2, 则 L=R2-R1. 如果板长 l 较之极板间距足够大, 显然这是一个平面场问题, 因此, 可以用保角变换的方法来处理[3]. 建立如图2 所示的复数平面 z. 首先, 利用保角变换将z 平面上极板所在的二条射线之间的区域变成图 3 所示的 z1 平面的上半平面, 所用变换式为这样 AB、 CD 分别处在 z1 平面的正、负实轴上. 再次作变换Φ=lnz1 把 z1 平面的上半平面变成了Φ平面上平行于实轴、宽为Π的一个带形区域, 见图 4. 其中Ν A= ΠΗ lnR1 Ν B= ΠΗ lnR2 Φ平面的图象是平行板电容器. 这样,z 平面上非平行板电容器经过上述二次变换变为Φ平面上平行板电容器, 两平行极板的宽度为 L′=Ν B-Ν A= ΠΗ lnR2R1 极板间距离为 d′=Π若不计边缘效应, 由平行板电容器公式, 其电容为 C=Ε 0S′d′=Ε 0L′ ld′=Ε 0lΗ lnR2R1(1) 这也就是原来的非平行板电容的电容,与[1][2] 的结果一样. 下面推导非平行板之间的场强计算公式. 设二极板间的电势 V0, 则在Φ平面上两极板之间静电场的电势为 v=V0 ΠΓ=ImV0 ΠΦ静电场的复势为 w=u+iv=V0 ΠΦ=V0 Η lnz. 根据复势与场强的关系[3], 场强大小应为 E=dwdz=V0 Η 1z=V0 Η 1r(2) 若极板带电量为± Q,则 V0=QC(3) 将(1) 代入(3) 得 V0= ΗQΕ 0lln(R2R1)(4) 将(4) 代入(2)E=Q0lrln(R2R1) 与文献[1][2] 的结果完全一样. 本文采用保角变换的方法得到了计边缘效应非平行板电容器的电容和电场分布的计算公