二重积分的计算法ppt详解.ppt

（优选）二重积分的计算(jì suàn)法
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一、利用(lìyòng)直角坐标计算二重积分
且在D上连续(liánxù)时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
直角坐标系下化二重（优选）二重积分的计算(jì suàn)法
1页，共30页，星期一。
一、利用(lìyòng)直角坐标计算二重积分
且在D上连续(liánxù)时,
由曲顶柱体体积的计算可知,
若D为 X – 型区域
直角坐标系下化二重积分为二次积分
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应用计算“平行截面面积(miàn jī)为已知的立体求体积”的方法,
由此得：
则
的值等于(děngyú)以D为底，
以曲面
为顶的圆柱体的体积，
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若D为Y –型区域(qūyù)
则
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当被积函数(hánshù)
均非负
在D上变号时,
因此上面讨论(tǎolùn)的累次积分法仍然有效 .
由于
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说明: (1) 若积分(jīfēn)区域既是X–型区域又是Y –型区域 ,
为计算(jì suàn)方便,可选择积分序, 必要时还可以交换积分序.
则有
(2) 若积分域较复杂,可将它分成若干
X-型域或Y-型域 ,
则
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穿过(chuān ɡuò)区域且平行于y 轴的
直线(zhíxiàn)与区域边界相交不多于两个交点.
直线与区域边界相交不多于两个交点.
计算中的技巧（问题）：
①、先画积分区域草图；
②、有无奇偶对称性:
X型区域的特点：
穿过区域且平行于x 轴的
Y型区域的特点：
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关于(guānyú)x奇，D关于y轴对称
关于(guānyú)y奇，D关于x轴对称
关于x偶，
关于y偶，
D关于y轴对称
D关于x轴对称
称f(x,y)关于x为奇，
称f(x,y)关于x为偶，
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③、交换(jiāohuàn)积分次序：
ⅰ、题目(tímù)本有要求；
ⅱ、出现
ⅲ、二重积分恒等式证明。
④、积分原则：与定积分计算基本一致；
（先对 x 积分，视 y 为常量，
对y 积分，视 x 为常量)
⑤、何时不得不将积分域D分块？
穿入穿出不唯一。
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解
积分(jīfēn)区域如图
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解
积分(jīfēn)区域如图
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解
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原式
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例4. 计算(jì suàn)
其中(qízhōng)D 是直线 y＝1, x＝2, 及
y＝x 所围的闭区域.
解法1. 将D看作X–型区域, 则
解法2. 将D看作Y–型区域, 则
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例5. 计算(jì suàn)
其中(qízhōng)D 是抛物线
所围成的闭区域.
解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分,
及直线
则
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例6. 计算(jì suàn)
其中(qízhōng)D 是直线
所围成的闭区域.
解: 由被积函数可知,
因此取D 为X – 型域 :
先对 x 积分不行,
说明: 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例7．求I=
解: 由被积函数(hánshù)可知,
取D 为X – 型域 :
因此(yīncǐ)取D 为Y – 型域 :
先对 y 积分不行,
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例8．求I=
解: 被积函数(hánshù)关于x为奇，关于y为奇
因此取D 分为(fēn wéi)两部分 :
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例9. 计算(jì suàn)
其中(qízhōng)D 由
所围成.
解: 令
(如图所示)
显然,
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二、利用(lìyòng)极坐标计算二重积分
在极坐标系下, 用同心圆 r =常数(chángshù)
则除包含边界点的小区域外,小区域的面积
及射线  =常数, 分划区域D 为
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设
则
1. 极点在积分(jīfēn)区域外
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设
则
设
则
2. 极点在积分(jīfēn)区域的边界上
3. 极点在积分区域(