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谈谈证明直线恒过点的几种方法
临川二中周志如
直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，: .
谈谈证明直线恒过点的几种方法
临川二中周志如
直线恒过点问题涉及解析几何的所有知识，综合性强，方法灵活，运算复杂，对能力要求高，在教学过程中总结了以下几种策略。
1、特殊引路和找定点
P的位置，
对于有些直线恒过定点的问题，可以先考虑动直线I的特殊情况，找出定点然后证明该点P在直线I上，反映从特殊到一般的数学方法。
2X2
例1:已知椭圆y1的右准线I，过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于2点，点C在右准线I上，且BC//X轴，求证AC经过定点。
证明：如图1,设I丄X轴，垂足为E,易求得F(1,0),E(2,0)
当AB丄X轴时，过A作AD丄I，垂足为D点，贝UABCD为矩形
以下证明N即为直线
当AB不垂直X轴时,
直线AC与X轴相
y
由椭圆的对称性可知,3交于EF的中点N(—,0)2
yk(X1),(k0)
A(X1,yj,B(X2,y2)x1,x2满足方程
k2(X1)21222
即(12k2)X24k2X2(k21)04k2
•-X1
X2
,亠・2
X-IX2
12k
又X2
2
2y122
得X13
3
0
2
故直线
AN
、CN的斜率分别为：
12(k21)27X1y1
32k(X11)k
2x132
y22322k(x21)
二k1k22k化1)区1)(2人3)2x-i3
(x-i1)(x21)(2为3)3(x-|x2)2X|x242222[2k4(k1)4(12k)]012k
二k1k203
综上所述，直线AC经过定点N(—,0)2
2、逆用直线系方程
过直线11:fdx,y)0与直线12:f2(x,y)0的交点的直线系方程为f,x,y)f2(x,y)
=0(R)，反之，若直线I的方程可表示为f1(x,y)f2(x,y)=0(R)，则必过由人区y)0确定的定点。
f2(x,y)0
例2:设点A和B为抛物线y24px,(p0)上原点以外的两个动点。已知OA丄OB,证明：设A(ptj,2pt1),B(ptf,2pt2)
•/OA丄OB
(如图
2)
…kOAKOB
2pt12pt2
22
pt1pt2
1
即t1t2
由于t1t2
直线
AB
的
方
程为
2pt2
2pt12
pt2
2pt1Pt：
(xpt12)
化简得：2x
(t1
t2)y
2pt1t2
0
即：(2x8p)(t.
it2)y
0
求证：直线AB必过定点。
•••直线AB过定点(4p,0)
(t1,t20)
3、利用直线方程的定义
直线I的方程为AxByC0,根据直线方程的定义，如果(x0