三角开门；八面玲珑.doc

数学破题36计
第28计 三角开门 八面玲珑
●计名释义
三角函数是沟通平面几何，立体几何、解析几何、向量和函数的重要工具。它具有以下特点:
,变换多，技巧多；
，特别是函数方程思想、数形结合每小时行v公里(v〉u），要使运输矿石的时间最短，火车站C、D应建在什么地方？
【分析】 求的是C、D建的地方，
为了将问题简化，暂不考虑车站D，
设法求出从A经过C到B′所需最短时间。
【解答】 ∵AC=A′C=mtanA,
∴CB′=A′B′—A′C=l-mtanA
∴从A经过C到B′所需时间为 例5题图
t=
由于,，为常数，问题转化为求y=的最小值。
∵y′=,令y′=0,得时，sinA<1。
sinA<时，y′<0,sinA〉时，y′〉0。
故函数y，从而函数t当sinA=时,获得极小值：
∵sinA=,∴A′C=mtanA=,即车站C距A′为千米,它和l的长短无关。
同理,站D距B′为千米.
【点评】 本例再次映证了求导法在求最值中的重要作用.
●对应训练
1方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0（π<θ<π）之二根为α，β，求使等比数列1，，…前100项之和为零的θ值。
2设实数对（x,y）满足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.
3圆的方程是x2+y2=1，四边形PABQ为该圆内接梯形，底边AB为圆的直径且在x轴上,当梯形ABCD的周长l最大时，求P点的坐标及这个最大的周长。
4△ABC中，三内角满足关系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C。
（Ⅰ）证明任意交换A、B、C位置y的值不变;
(Ⅱ）求y的最大值.
,相距4km（直线间隔 ）的两座城市A和B分别位于河的两岸,现需铺设一条电缆连通A和B. 地下电缆的修建费为每千米2万元，水下电缆的修建费为每千米4万元。 ？

●参考答案
1由条件:，
∴,即等比数列的公比q=2sinθ，∴S100=.
S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1，于是2sinθ= -1，sinθ=，
∵θ∈（π,π）， ∴θ=π。
2圆（x-1)2+（y—1）2=1的圆心为C（1,1)，半径r=1，此圆在第一象限且和两轴相切，为求的最小值，先求的最大值.
如图，表示圆上的点（x,y)和
定点P（-1,0）连线的斜率,PA，PB为
圆C的切线，那么，连PC,
设∠BPC=∠APC=θ，那么tanθ=, 第2题解图
tan∠BPA=tan2θ=， 即，从而.
3如以下图，有A（1,0）,B(—1，0）,
⊙方程为x2+y2=1，∴设P（cosθ，sinθ)为
圆上一点，不妨设P在第一象限,
那么有Q(-cosθ,sinθ).
∴|PQ|=2cosθ，Rt△PAB中∠PBA=，
∴｜BQ|=｜PA|=｜AB｜ sin=2sin，
l=2+2cosθ+4sin=2+2（1-2sin2)+4sin=5-4（sin）2, 第3题解图
当且仅当sin=,即θ=60°（假设θ在四象限那么为300°)时，lmax=5，此时
点P的坐标为.
4(Ⅰ)y=2+cos C［cos （A—B) — cosC］
=2+cos C[cos (A—B）+cos (A+B)]=2+2cos Acos Bcos C
此为关于A、B、C的对称轮换式，故任意交换A、B、C的位置，y的值不变.
（Ⅱ）y=2-［cos Ccos (A—B）］2 +cos2（A—B),为求y的最大值必须［cos
Ccos （A—B）］2获得最小而cos2(A—B）获得最大.
∵[cosCcos （A-B) 2≥0，且cos+（A—B）≤当且仅当时以上两条同时成立。
∴ymax =，此时故△ABC为正三角形.
5。解法一:如以下图，设OM=x km，那么AM=-x，BM=。 总修建费
S=2(-x）+4
=2++x+3（—x)
=2+（+x）+≥2+2
由+x=，得当x=时，
S取最小值2+2，此时,
AM≈3。3，BM≈.
km地下电缆，
再铺设1。2 km水下电缆连通A和B时， 第5题解图
总的修建费用最少，此时修建费为11。4万