(完整版)四点共圆的判定和性质.docx

(完好版)四点共圆的判断和性质
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四点共圆的判断和性质
四点共圆的定义： 假如同一平面内的四个点在同一个圆上，
则称这四个(完好版)四点共圆的判断和性质
(完好版)四点共圆的判断和性质
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四点共圆的判断和性质
四点共圆的定义： 假如同一平面内的四个点在同一个圆上，
则称这四个点共圆， 一般简称为
“四点共圆 ”.
证明四点共圆有下述一些基本方法：
方法 1:从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，
而后证另一点也在这个圆上，
若能证明这一
点，即可必定这四点共圆．
方法 2:把被证共圆的四点连成共底边的两个三角形，
若能证明其两顶角为直角，
进而即可肯
定这四个点共圆．
方法 3:把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，
且两三角形都在这底边的同侧，
若能
证明其顶角相等，进而即可必定这四点.
方法 4:把被证共圆的四点连成四边形， 若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补
角的内对角时，即可必定这四点共圆．
方法 5:把被证共圆的四点两两连成订交的两条线段，
若能证明它们各自被交点分红的两线段
之积相等， 即可必定这四点共圆； 或把被证共圆的四点两两连结并延长订交的两线段，
若能
证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两头点所成的两线
段之积，即可必定这四点也共圆．
方法 6:证被证共圆的点到某必定点的距离都相等，进而确立它们共圆．
上述六种基本方法中的每一种的依据， 就是产生四点共圆的一种原由， 所以当要求证四点共圆的问题时， 第一就要依据命题的条件， 并联合图形的特色， 在这六种基本方法中选择一种证法，赐予证明．
判断与性质：
圆内接四边形的对角和为 180 度,而且任何一个外角都等于它的内对角。
如四边形 ABCD内接于圆 O，延长 AB 至 E， AC、 BD 交于 P，则 A+C=180 度， B+D=180°
ABC=∠ ADC（同弧所对的圆周角相等）
CBE=∠ D（外角等于内对角）
△ABP∽ △ DCP（三个内角对应相等）
AP× CP=BP× DP（订交弦定理）
AB× CD+AD×CB=AC×BD（托勒密定理）
托勒密定理及证明：
如图，四边形 ABCD内接于圆 O，那么 AB*CD+AD*BC=AC*BD 证明：作 ∠BAE=∠ CAD，交 BD 于点 E
∵∠ ABE=∠ ACD， ∠ BAE=∠CAD
∴△ ABE∽ △ ACD
∴AB： AC=BE： CD
∴AB× CD=AC× BE
∵∠ BAC=∠ EAD， ∠ACB=∠ ADE
∴△ ABC∽ △ AED
∴BC： DE=AC：AD
∴BC× AD=AC× DE
∴AB× CD+BC× AD=AC× BE+AC× DE=