信号与系统教案第2章连续系统的时域分析.ppt

第二章连续系统的时域分析
LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
二、关于0-和0+初始值
三、零输入响应和零状态响应
冲激响应和阶跃响应
一、冲激响应
二、阶跃响应
卷积积分
一、信号时域分解与卷积
二、卷积的图解
卷积积分的性质
一、卷积代数
二、奇异函数的卷积特性
三、卷积的微积分性质
四、卷积的时移特性
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LTI连续系统的时域分析,归结为:建立并求解线性微分方程。
由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故称为时域分析法。这种方法比较直观,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法的基础。
第二章连续系统的时域分析
LTI连续系统的响应
LTI连续系统的响应
一、微分方程的经典解
y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + …+ a1y(1)(t) + a0y (t)
= bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + …+ b1f(1)(t) + b0f (t)
LTI连续系统的响应
微分方程的经典解:
y(t)(完全解) = yh(t)(齐次解) + yp(t)(特解)
齐次解
y(n)+an-1y(n-1)+…+a1y(1)(t)+a0y(t)=0
yh(t)的函数形式由微分方程的特征根确定。
例描述某系统的微分方程为
y”(t) + 5y’(t) + 6y(t) = f(t)
求(1)当f(t) = 2e-t,t≥0;y(0)=2,y’(0)= -1时的全解;
(2)当f(t) = e-2t,t≥0;y(0)= 1,y’(0)=0时的全解。
特解的函数形式与激励函数的形式有关。
齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应;
特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。
LTI连续系统的响应
解: (1) 特征方程λ2 + 5λ+ 6 = 0
特征根λ1= – 2,λ2= – 3
yh(t) = C1e – 2t + C2e – 3t
当f(t) = 2e – t时,特解
yp(t) = Pe – t
代入微分方程
Pe – t + 5(– Pe – t) + 6Pe – t = 2e – t 解得 P=1
特解 yp(t) = e – t
全解: y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e – 2t + C2e – 3t + e – t
y(0) = C1+C2+ 1 = 2
y’(0) = – 2C1 – 3C2 – 1= – 1
C1 = 3 ,C2 = – 2
全解 y(t) = 3e – 2t – 2e – 3t + e – t , t≥0
(2)齐次解同上。当激励f(t)=e–2t时,其特解为
yp(t) = (P1t + P0)e–2t
得 P1e-2t = e–2t
所以 P1= 1 但P0不能求得。全解为
y(t)= C1e–2t + C2e–3t + te–2t + P0e–2t
= (C1+P0)e–2t +C2e–3t + te–2t
将初始条件代入,得
y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,
y’(0)= –2(C1+P0) –3C2+1=0
解得 C1 + P0 = 2 ,C2= –1
y(t) = 2e–2t – e–3t + te–2t , t≥0
上式第一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。
LTI连续系统的响应
LTI连续系统的响应
二、关于0-和0+初始值
若输入f(t)在t=0时接入,则确定Ci时用t = 0+时刻的初始值,即y(j)(0+) (j=0,1,2…,n-1)。
而y(j)(0+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统的历史信息。
在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。
通常,对于具体的系统,初始状态一般容易求得。这样为求解微分方程,就需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。
例:描述某系统的微分方程为
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2f’(t) + 6f(t)
已知y(0-)=2,y’(0-)= 0,f(t)=ε(t),求y(0+)和y’(0+)。
解:将f(t)=ε(t)代入微分方程
y”(t) + 3y’(t) + 2y(t) = 2δ(t) + 6ε(t) (1)
系数匹配法:
由于等号右端为2δ(t),故y”(t)应包含冲激函数,从而y’(t)在t= 0处将发生跃变,即y’