外接球问题典型例题.doc

L eizi 在三棱柱 1 1 1 ABC ABC ?中,已知 1 AA ABC ?平面,1 2, 2 3, 2 AA BC BAC ?? ???,此三棱柱各个顶点都在一个球面上,则球的体积为( ) A. 323 ? B. 16? C. 253 ? D. 312 ?【知识点】线面垂直的性质; 球内接多面体; 球体积的公式. 【答案解析】A 解析:解: 直三棱 1 1 1 ABC ABC ?的各顶点都在同一球面上,( 如图), ∵ ABC 中,2 BAC p D = ,∴下底面 ABC 的外心 P 为 BC 的中点, 同理,可得上底面 1 1 1 A BC 的外心 Q 为 1 1 BC 的中点, 连接 PQ ,则 PQ 与侧棱平行,所以 PQ ⊥平面 ABC 再取 PQ 中点 O ,可得:点 O 到 1 1 1 , , , , , A B C A B C 的距离相等, ∴O 点是三棱柱 1 1 1 ABC ABC ?外接球的球心∵ RT POB 中, 132 BP BC = = ,1112 PQ AA = = , ∴ 2 2 2 OB BP PO = + = ,即外接球半径 2R= , 因此,三棱柱 1 1 1 ABC ABC ?外接球的球的体积为: 3 3 4 4 32 2 3 3 3 V R p p p = = = . 故选: A. 【思路点拨】根据题意并结合空间线面垂直的性质, 可得三棱柱 1 1 1 ABC ABC ?外接球的球心是上下底面斜边中点的连线段 PQ 的中点. 在直角 RT POB 中, 利用勾股定理算出 OB 的长, 即得外接球半径 R 的大小, 再用球的体积公式即可算出所求外接球的体积. 四面体 ABCD 中,已知 AB=CD= 29, AC=BD= 34, AD=BC= 37 ,则四面体 ABCD 的外接球的表面积() A. 25 ?B. 45 ?C. 50 ?D. 100 ?【知识点】几何体的外接球的表面积的求法; eizi 【答案解析】 C 解析:解: 由题意可采用割补法,考虑到四面体 ABCD 的四个面为全等的三角形, 所以可在其每个面补上一个以 29, 34, 37 为三边的三角形作为底面,且以分别 x,y,z 长、两两垂直的侧棱的三棱锥,从而可得到一个长、宽、高分别为 x,y,z 的长方体,并且 x 2 +y 2 =29 ,x 2 +z 2 =34 ,y 2 +z 2 =37 ,则有( 2R) 2 =x 2 +y 2 +z 2 =50 (R 为球的半径),得 R 2= 252 ,所以球的表面积为 S=4 πR 2 =50 π. 故选: C. 【思路点拨】将四面体补成长方体,通过求解长方体的对角线就是球的直径,然后求解外接球的表面积. 已知正四面体的棱长为 2 ,则它的外接球的表面积的值为. 【知识点】球内接多面体. 【答案解析】 3p 解析:解: 正四面体扩展为正方体,它们的外接球是同一个球, 正方体的对角线长就是球的直径,正方体的棱长为: 1 ;对角线长为: 3 , ∴棱长为 2 的正四面体的外接球半径为 32 . 所以外接球的表面积为 23 4