EYR高中三年级数学921 1333.doc

北京市东城区2009—2010学年度第二学期过程性教学质量评估试卷
高三数学(理科)(六)立体几何(B)
解答题
(1)如图,已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,1B1的中心,点F,G分别是棱C1D1,,G1分别是点E,1D1内的正投影.
(Ⅰ)求以E为顶点,1D1内的正投影为底面边界的棱锥的体积;
(Ⅱ)证明:直线FG1⊥平面FEE1;
(Ⅲ)求异面直线E1G1与EA所成角的正弦值.
(2)如图,DC⊥平面ABC,EB∥DC,AC=BC=EB=2DC=2,∠ACB=120°,P,Q分别为AE,AB的中点.
(Ⅰ)证明:PQ∥平面ACD;
(Ⅱ)求AD与平面ABE所成角的正弦值.
(3)如图,四棱锥P-ABCD的底面是正方形,PD⊥底面ABCD,点E在棱PB上.
(Ⅰ)求证:平面AEC⊥平面PDB;
(Ⅱ)当,且E为PB的中点时,求AE与平面PDB所成的角的大小.
(4)如图,在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,侧棱垂直于底面,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,E,E1,F分别是棱AD,AA1,AB的中点.
(Ⅰ)证明:直线EE1∥1;
(Ⅱ)求二面角B-FC1-C的余弦值.
【参考答案】
(1)解:(1)依题作点E,1D1内的正投影E1,G1,则E1,1,DD1的中点,连结EE1,EG1,ED,DE1,则所求为四棱锥E-DE1FG1的体积,其底面DE1FG1面积为
,
又EE1⊥面
(Ⅱ)以D为坐标原点,DA,DC,DD1所在直线分别作x轴,y轴,z轴,得,又G(2,0,1),F(0,1,2),E(1,2,1),
则,
,
即,
又。
(Ⅲ),则,
设异面直线所成角为θ,则。
(2)(Ⅰ)证明:连接DP,CQ,在△ABE中,P,Q分别是AE,AB的中点,所以,又,所以PQDC,又,所以PQ//平面ACD
(Ⅱ)在△ABC中,AC=BC=2,AQ=BQ,所以CQ⊥AB。
而DC⊥平面ABC,EB//DC,所以EB⊥平面ABC。
而平面ABE,所以平面ABE⊥平面ABC,所以CQ⊥平面ABE。
由(Ⅰ)知四边形DCQP是平行四边形,所以DP//CQ。
所以DP⊥平面ABE,所以直线AD在平面ABE内的射影是AP,
所以直线AD与平面ABE所成角是∠DAP。
在Rt△APD中,,
所以sin∠。
(3)解法1:(Ⅰ)∵四边形ABCD是正方形,∴AC⊥BD,
∵PD⊥底面ABCD,
∴PD⊥AC,∴AC⊥平面PDB,
∴平面AEC⊥平面PDB。
(Ⅱ)设,连接OE,
由(Ⅰ)知AC⊥平面PDB于O,
∴∠AEO为AE与平面PDB所成的角,
∴O,E分别为DB,PB的中点,
⊥底面ABCD,
OE⊥底面ABCD,OE⊥AO,
在Rt△AOE中,,
∴∠AOE=45°,即AE与平面PDB所成的角的大小为45°。
解法2:如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz,
设,
则,
(Ⅰ),
,
平面PDB。
∴平面AEC⊥平面PDB。
(Ⅱ)当且E为PB的中点时,,
设