高中数学圆的方程.doc

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高中数学圆的方程典型例题
类型一：圆的方程
例1 求过两点、且圆心在直线上的圆的标准方程并判断点与圆的关系．
例2 求半径为4，与圆相切，且和直线相切的圆的方程．
例3 求经过点，且与直线和都相切的圆为，则，
∴，即，或，也即
，或．
设圆的圆心到直线、的距离为、，则
，．
∴与相切，与圆有一个公共点；与圆相交，与圆有两个公共点．即符合题意的点共3个．
说明：对于本题，若不留心，则易发生以下误解：
设圆心到直线的距离为，则．
∴圆到距离为1的点有两个．
显然，上述误解中的是圆心到直线的距离，，只能说明此直线与圆有两个交点，而不能说明圆上有两点到此直线的距离为1．
到一条直线的距离等于定值的点，在与此直线距离为这个定值的两条平行直线上，因此题中所求的点就是这两条平行直线与圆的公共点．求直线与圆的公共点个数，一般根据圆与直线的位置关系来判断，即根据圆心与直线的距离和半径的大小比较来判断．
练习1：直线与圆没有公共点，则的取值范围是
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解：依题意有，解得.∵，∴.
练习2：若直线与圆有两个不同的交点，则的取值范围是 .
解：依题意有，解得，∴的取值范围是.
3、　圆上到直线的距离为的点共有（ ）．
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
分析：把化为，圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，所以在圆上共有三个点到直线的距离等于，所以选C．
4、　过点作直线，当斜率为何值时，直线与圆有公共点，如图所示．
分析：观察动画演示，分析思路．
P
E
O
y
x
解：设直线的方程为
即
根据有
整理得
解得
．
类型五：圆与圆的位置关系
问题导学四：圆与圆位置关系如何确定？
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例14、判断圆与圆的位置关系，
例15：圆和圆的公切线共有 条。
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，∴.∵，∴。
练习
1：若圆与圆相切，则实数的取值集合是 .
解：∵圆的圆心为，半径，圆的圆心为，半径，且两圆相切，∴或，∴或，解得或，或或，∴实数的取值集合是.
2：求与圆外切于点，且半径为的圆的方程.
解：设所求圆的圆心为，则所求圆的方程为.∵两圆外切于点，∴，∴，∴，∴所求圆的方程为.
类型六：圆中的对称问题
例16、圆关于直线对称的圆的方程是
G
O
B
N
M
y
A
x
图3
C
A’
例17　自点发出的光线射到轴上，被轴反射，反射光线所在的直线与圆相切
（1）求光线和反射光线所在的直线方程．
（2）光线自到切点所经过的路程．
分析、略解：观察动画演示，分析思路．根据对称关系，首先求出点
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的对称点的坐标为，其次设过的圆的切线方程为
根据，即求出圆的切线的斜率为
或
进一步求出反射光线所在的直线的方程为
或
最后根据入射光与反射光关于轴对称，求出入射光所在直线方程为
或
光路的距离为，可由勾股定理求得．
说明：本题亦可把圆对称到轴下方，再求解．
类型七：圆中的最值问题
例18：圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是
解：∵圆的圆心为（2，2），半径，∴圆心到直线的距离，∴直线与圆相离，∴圆上的点到直线的最大距离与最小距离的差是.
例19　(1)已知圆，为圆上的动点，求的最大、最小值．
(2)已知圆，为圆上任一点．求的最大、最小值，求的最大、最小值．
分析：(1)、(2)两小题都涉及到圆上点的坐标，可考虑用圆的参数方程或数形结合解决．
解：(1)(法1)由圆的标准方程．
可设圆的参数方程为（是参数）．
则
（其中）．
所以，．
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